Seja mu a vida média real de certo tipo de pneu. Considere o teste de H0: mu=30.000 versus Ha: mu>30.000. Para esse teste, calcule o tamanho da amostra n tal que alpha=0,01 e beta(31.000)=0,1. É dado que a vida útil deste tipo de pneu segue uma distribuição normal com variância igual a 2.250.000.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: queremos testar
H0: mu = 30,000 versus Ha: mu > 30,000
sabendo que a vida dos pneus é Normal com variância sigma^2 = 2,250,000 (logo sigma=1500). Precisamos achar o tamanho de amostra n de modo que o risco de tipo I seja alpha=0,01 e, no caso real da média ser mu1=31,000, o risco de tipo II seja beta=0,1.
Conteúdo: teste de hipóteses para média de população normal com variância conhecida. Vamos usar as noções de valor crítico (para controlar alpha) e de poder do teste (para controlar beta) e daí encontrar n.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o teste:
  • A estatística é bar Xsim Nl(mu,;sigma^2/nr).
  • Como Ha é “ mu>30,000”, rejeitamos H0 se bar X > c para algum critério c.
  • Escolhemos c de modo que, sob H0 ( mu=30,000), a probabilidade de rejeitar seja alpha=0,01. Isso garante o controle do tipo I.

Passo 3

Calcular c em função de n:
Sob H0, bar Xsim Nl(30,000,;1500^2/nr)
Queremos
PH0l(bar X>cr) = 0,01
Padronizando,
P!l(Z > c - 30,0001500/raiz nr) = 0,01 Longrightarrow c - 30,0001500/raiz n = z0,99 = 2,3263
Então
c = 30,000 + 2,3263,1500raiz n

Passo 4

Agora olhamos para o poder do teste:
Quando a verdadeira média for mu1=31,000, queremos que
beta = Pmu=31,000l(falha em rejeitar H0r) = 0,1
Ou seja,
P!l(bar X <= c mid mu=31,000r) = 0,1
Sob esse cenário, bar Xsim Nl(31,000,;1500^2/nr). Padronizando,
P!l(Z <= c - 31,0001500/raiz nr) = 0,1 Longrightarrow c - 31,0001500/raiz n = z0,1 = -1,2816

Passo 5

Agora juntamos as duas expressões de c:
  1. c = 30,000 + 2,3263,dfrac1500raiz n
  2. c = 31,000 + (-1,2816),dfrac1500raiz n
Igualando:
30,000 + 2,3263,1500raiz n ;=; 31,000 - 1,2816,1500raiz n
Reorganizando:
31,000 - 30,000 = l(2,3263 + 1,2816r),1500raiz n Longrightarrow 1000 = 3,6079,1500raiz n
Então
1500raiz n = 10003,6079 ;Longrightarrow; raiz n = 1500 times 3,60791000 = 5,41185 ;Longrightarrow; n = (5,41185)^2 approx 29,29

Resposta

Como n precisa ser inteiro, a gente arredonda para cima e encontra
boxedn = 30

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