Seja r a reta determinada pelos pontos A=(2,-3,4) e B=(3,-2,3).
Qual a posição relativa entre a reta r e a reta s:(x, y, z)=(3 t,-3+3 t,-3 t+2) ?

Passo 1

O enunciado dá a reta r passando por
A = (2,-3,4), B = (3,-2,3)
e a reta s dada por
(x,y,z) = (3t,,-3+3t,,-3t+2)
Queremos determinar se r e s são coincidentes, paralelas distintas ou revestem-se (se cruzam).

Passo 2

Para a reta r calculamos o vetor diretor
vec vr = B - A = (3-2,,-2-(-3),,3-4) = (1,,1,,-1)
Assim uma equação paramétrica para r é
(x,y,z) = (2,-3,4) + u,(1,1,-1)

Passo 3

O vetor diretor de s é o coeficiente de t, isto é
vec vs = (3,,3,,-3) = 3,(1,1,-1)
Logo vec vs é múltiplo escalar de vec vr, o que implica que r e s são paralelas.

Passo 4

Para ver se são coincidentes ou não, tentamos achar (u,t) tais que
2+u = 3t, -3+u = -3+3t, 4-u = -3t+2
Das duas primeiras equações vem u=3t-2 e
-3+(3t-2) = -3+3t ;Longrightarrow;3t-5 = 3t-3;Longrightarrow;-5=-3,
contradição. Não há solução comum, logo não se intersectam.

Passo 5

Concluímos que r e s têm vetores diretores paralelos mas não se cruzam nem coincidem.

Resposta

As retas r e s são paralelas e distintas.

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