Seja r a reta interseção dos planos alpha: x+y+z-11=0 e beta: x-4 y+5 z-10=0. Determine a equação do plano que contém a reta r, e:
passa pelo ponto A(3,-1,4).

Passo 1

O enunciado pede o plano pi que contém a reta r definida pela interseção dos planos
alpha:;x+y+z-11=0
beta:;x-4y+5z-10=0
e que passa pelo ponto A(3,-1,4).
Conteúdo: geometria analítica no espaço, plano determinado por uma reta e um ponto.

Passo 2

Qualquer plano que contenha a reta r=alphacapbeta pode ser escrito como combinação linear das equações de alpha e beta:
(x+y+z-11)+k,(x-4y+5z-10)=0

Passo 3

Impondo que A(3,-1,4) satisfaça essa equação, temos
(3+(-1)+4-11)+kl(3-4(-1)+5cdot4-10r)=0
-5+17k=0 Longrightarrow k=517

Passo 4

Substituindo k=tfrac517 na equação genérica e multiplicando tudo por 17 para eliminar denominadores, obtemos
17(x+y+z-11)+5(x-4y+5z-10)=0
22x-3y+42z-237=0

Resposta

A equação do plano procurado é
22x - 3y + 42z - 237 = 0

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