Determine se a função T: R^2 R^2, definida por
T(x, y)=(x+y, x-y)
é uma transformação linear. Em caso afirmativo, determine a matriz associada à transformação na base canônica.

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (x+y,;x-y)
e pergunta se ela é linear. Caso positivo, pede a matriz de T na base canônica de R^2. Para isso vamos lembrar que uma aplicação T é linear se satisfaz:
  1. aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v),
  2. homogeneidade: T(c,u)=c,T(u).

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2)
e
T(u+v)=l((x1+x2)+(y1+y2),;(x1+x2)-(y1+y2)r)
Por outro lado,
T(u)+T(v)=(x1+y1,;x1-y1)+(x2+y2,;x2-y2) =(x1+y1 +x2+y2,;x1-y1 +x2-y2),
que coincide com T(u+v). Logo, T é aditiva.

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja cinR e u=(x,y). Então
c,u=(c,x,;c,y) e T(c,u)=l(c,x + c,y,;c,x - c,yr) =c,(x+y,;x-y)=c,T(u)
Isso mostra que T é homogênea.

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que ela é linear. Para achar a matriz de T na base canônica e1,e2 com e1=(1,0) e e2=(0,1), calculamos:
T(e1)=T(1,0)=(1+0,;1-0)=(1,1),
T(e2)=T(0,1)=(0+1,;0-1)=(1,-1)
As colunas da matriz de T são exatamente T(e1) e T(e2).

Resposta

A transformação T é linear e sua matriz na base canônica é
[T] = 1 & 1 1 & -1

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