Determine se a função
, definida por
é uma transformação linear. Em caso afirmativo, determine a matriz associada à transformação na base canônica.
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação
e pergunta se ela é linear. Caso positivo, pede a matriz de
na base canônica de
. Para isso vamos lembrar que uma aplicação
é linear se satisfaz:
- aditividade:
, - homogeneidade:
.
Passo 2
Verificação da aditividade. Sejam
e
. Então
e
Por outro lado,
que coincide com
. Logo,
é aditiva.
Passo 3
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Então
Isso mostra que
é homogênea.
Passo 4
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que ela é linear. Para achar a matriz de
na base canônica
com
e
, calculamos:
As colunas da matriz de
são exatamente
e
.
Resposta
A transformação
é linear e sua matriz na base canônica é