Verifique se é uma transformação linear e, em caso afirmativo, determine a matriz associada à transformação na base canônica de e .
Passo 1
O enunciado define uma função por
O conteúdo aqui é verificar se satisfaz as duas propriedades de linearidade (preservar soma e multiplicação por escalar) e, caso afirmativo, encontrar a matriz que representa nas bases canônicas de e .
Passo 2
Verificamos que preserva a soma. Sejam e . Então
e
Por outro lado,
que dá exatamente o mesmo par de coordenadas acima. Logo
Passo 3
Verificamos que preserva a multiplicação por escalar. Seja e . Então
Portanto
Assim, é de fato linear.
Passo 4
Para achar a matriz de na base canônica, aplicamos aos vetores , e :
Cada uma dessas imagens é uma coluna da matriz de . Logo a matriz associada, na base canônica de (colunas) e (linhas), é
Resposta
A transformação T é linear e sua matriz na base canônica é