Seja T: R^3 R^2, definida por
T(x, y, z)=(x+y+z, x-y+2 z)
Verifique se T é uma transformação linear e, em caso afirmativo, determine a matriz associada à transformação na base canônica de R^3 e R^2.

Passo 1

O enunciado define uma função Tcolon R^3 to R^2 por
T(x,y,z) = (,x+y+z,;x-y+2z,)
O conteúdo aqui é verificar se T satisfaz as duas propriedades de linearidade (preservar soma e multiplicação por escalar) e, caso afirmativo, encontrar a matriz que representa T nas bases canônicas de R^3 e R^2.

Passo 2

Verificamos que T preserva a soma. Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u + v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e
T(u+v) = l((x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2),;(x1+x2)-(y1+y2)+2(z1+z2)r)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (x1+y1+z1,;x1-y1+2z1) + (x2+y2+z2,;x2-y2+2z2),
que dá exatamente o mesmo par de coordenadas acima. Logo
T(u+v) = T(u) + T(v)

Passo 3

Verificamos que T preserva a multiplicação por escalar. Seja cinR e u=(x,y,z). Então
c,u = (c,x,;c,y,;c,z),
T(c,u) = (c,x + c,y + c,z,;c,x - c,y + 2,c,z) = c,(x+y+z,;x-y+2z) = c,T(u)
Portanto
T(c,u) = c,T(u)
Assim, T é de fato linear.

Passo 4

Para achar a matriz de T na base canônica, aplicamos T aos vetores e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1):
T(e1) = T(1,0,0) = (1+0+0,;1-0+0) = (1,1),
T(e2) = T(0,1,0) = (0+1+0,;0-1+0) = (1,-1),
T(e3) = T(0,0,1) = (0+0+1,;0-0+2) = (1,2)
Cada uma dessas imagens é uma coluna da matriz de T. Logo a matriz associada, na base canônica de R^3 (colunas) e R^2 (linhas), é
A = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 2

Resposta

A transformação T é linear e sua matriz na base canônica é
1 & 1 & 1 1 & -1 & 2

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