Seja T: R^3 R^3, definida por
T(x, y, z)=(2 x+y, x-z, y+z)
Verifique se T é uma transformação linear. Em caso afirmativo, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T.

Passo 1

O enunciado define T:R^3toR^3 por
T(x,y,z)=(2x+y,;x-z,;y+z)
Queremos ( 1) verificar se T é linear, ( 2) encontrar ker(T) e sua dimensão, e ( 3) encontrar Im(T) e sua dimensão.

Passo 2

Para ver que é linear, basta notar que há uma matriz constante tal que
e
Como toda transformação dada por multiplicação de vetor por matriz fixa é linear, segue que satisfaz
logo é transformação linear.

Passo 3

Para achar
isto é, o sistema
Da segunda equação . Substituindo na terceira: , dá . Então e . Assim
a dimensão é e a base é o conjunto vazio (ou seja, só o vetor nulo).

Passo 4

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A, equivalentes a
T(e1)=(2,1,0), T(e2)=(1,0,1), T(e3)=(0,-1,1)
Como det A=1neq0, essas três colunas são linearmente independentes e geram R^3. Logo
Im(T)=R^3,
dimIm(T)=3 e uma base é
(2,1,0),,(1,0,1),,(0,-1,1).

Resposta

T é linear.
dimker(T)=0, base do núcleo = varnothing.
dimIm(T)=3, base da imagem = (2,1,0),,(1,0,1),,(0,-1,1).

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