Seja
, definida por
Verifique se
é uma transformação linear. Em caso afirmativo, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de
.
Passo 1
O enunciado define
por
Queremos (
) verificar se
é linear, (
) encontrar
e sua dimensão, e (
) encontrar
e sua dimensão.
Passo 2
Para ver que
é linear, basta notar que há uma matriz constante
tal que
e
Como toda transformação dada por multiplicação de vetor por matriz fixa é linear, segue que
satisfaz
logo é transformação linear.
Passo 3
Para achar
isto é, o sistema
Da segunda equação . Substituindo na terceira:
, dá
. Então
e
. Assim
a dimensão é
e a base é o conjunto vazio (ou seja, só o vetor nulo).
Passo 4
A imagem de
T é o espaço gerado pelas colunas de
A , equivalentes a
Como
det A=1neq0 , essas três colunas são linearmente independentes e geram
R^3 . Logo