Seja
a reta que passa pelos pontos
e
, e seja
a superfície definida pela equação
. Determine
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos dá uma reta $ r $ que passa pelos pontos $ A = (1, 0, 0) $ e $ B = (0, 0, 1) $, e uma superfície $ S $ definida pela equação $ z = x^2 + y^2 $. Nosso objetivo é encontrar a interseção entre a reta $ r $ e a superfície $ S $, ou seja, determinar $ S \cap r $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica como parametrização de retas e substituição de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta $ r $. Sabemos que uma reta pode ser descrita em função de um parâmetro, geralmente chamado de $ t $. Como a reta passa pelos pontos $ A $ e $ B $, podemos escrever:
Calculando $ B - A $:
Então, a parametrização da reta $ r $ fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir as expressões de $ x $, $ y $ e $ z $ da reta $ r $ na equação da superfície $ S $:
Substituindo:
Passo 4
Vamos resolver a equação resultante para encontrar os valores de $ t $:
Reorganizando a equação:
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Com os valores de $ t $ encontrados, podemos determinar os pontos de interseção substituindo de volta na parametrização da reta $ r $:
Para $ t = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $:
Para $ t = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $:
Resposta
A interseção $ S \cap r $ é composta pelos pontos:
e