Seja r a reta que passa pelos pontos A=(1,0,0) e B=(0,0,1), e seja S a superfície definida pela equação S: z=x^2+y^2. Determine S cap r.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá uma reta $ r $ que passa pelos pontos $ A = (1, 0, 0) $ e $ B = (0, 0, 1) $, e uma superfície $ S $ definida pela equação $ z = x^2 + y^2 $. Nosso objetivo é encontrar a interseção entre a reta $ r $ e a superfície $ S $, ou seja, determinar $ S \cap r $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica como parametrização de retas e substituição de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta $ r $. Sabemos que uma reta pode ser descrita em função de um parâmetro, geralmente chamado de $ t $. Como a reta passa pelos pontos $ A $ e $ B $, podemos escrever:
r
Calculando $ B - A $:
t
Então, a parametrização da reta $ r $ fica:
A
B
r(t) = A + t(B - A)

Passo 3

Agora, vamos substituir as expressões de $ x $, $ y $ e $ z $ da reta $ r $ na equação da superfície $ S $:
x
Substituindo:
y
z

Passo 4

Vamos resolver a equação resultante para encontrar os valores de $ t $:
t
t = (1 - t)^2
Reorganizando a equação:
t = 1 - 2t + t^2
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t^2 - 3t + 1 = 0
t = 3 pm raiz9 - 4 cdot 1 cdot 12

Passo 5

Com os valores de $ t $ encontrados, podemos determinar os pontos de interseção substituindo de volta na parametrização da reta $ r $:
Para $ t = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $:
t
r
t = 3 + raiz52
Para $ t = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $:
x = 1 - 3 + raiz52 = -1 - raiz52
y = 0
z = 3 + raiz52

Resposta

A interseção $ S \cap r $ é composta pelos pontos:
S cap r
e
( -1 - raiz52, 0, 3 + raiz52 )

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