Seja r a reta tangente à hélice circular sigma(t)=(cos t, sin t, t) no ponto P=(-1,0, pi).
Assinale a alternativa que contém um ponto que pertence a r :
(a) (-1,-1, pi);
(b) (-1, pi, 2 pi);
(c) (1, pi, 2 pi);
(d) (-1,-pi, 2 pi);
(e) (0,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à hélice circular definida por sigma(t)=(cos t,sin t,t) no ponto P=(-1,0,pi). Para isso, vamos usar cálculo vetorial: a reta tangente em P tem direção dada pela derivada sigma'(t) avaliada em t=pi, e passa por P.

Passo 2

A derivada da hélice é
sigma'(t)=(-sin t,cos t,1)
Em t=pi temos sinpi=0 e cospi=-1, logo
sigma'(pi)=(0,-1,1)

Passo 3

A equação vetorial da reta tangente r em P com parâmetro s é
r(s)=P+s,sigma'(pi) =(-1,0,pi)+s,(0,-1,1) =(-1,,-s,;pi+s)
Portanto um ponto genérico em r é l(-1,-s,pi+sr).

Passo 4

Para verificar as alternativas, basta ver qual ponto se ajusta a l(-1,-s,pi+sr):
  • (a) (-1,-1,pi): s=1 daria z=pi+1neqpi.
  • (b) (-1,pi,2pi): pi=-s s=-pi e z=pi-pi=0neq2pi.
  • (c) tem x=1neq-1, não serve.
  • (d) (-1,-pi,2pi): -pi=-s s=pi e então z=pi+pi=2pi, bate certinho.
  • (e) tem x=0neq-1, não serve.

Resposta

(d) (-1,-pi,2pi)

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