Seja A o retângulo 1 <= x <= 2,0 <= y <= 1 calcule integral duplaA f(x, y) d A quando f(x, y)=
11+x^2+2 x y+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaA f(x,y),dA
sobre o retângulo Acolon 1<= x<=2,;0<= y<=1, onde
f(x,y)=11+x^2+2xy+y^2
Vamos usar a ideia de mudança de variáveis para simplificar a forma do integrando.

Passo 2

Note que
1 + x^2 + 2xy + y^2 = 1 + (x+y)^2
Logo podemos definir a nova variável
u = x + y,
pois assim o integrando fica 1/(1+u^2).

Passo 3

Escolhemos como segunda variável v=y. Então
x = u - v, y = v
e o Jacobiano é
l|detpartial(x,y)partial(u,v)r| =det1 & -10&1 =1,
logo dA=dudv.

Passo 4

Precisamos descrever a região em (u,v). Sabemos 0<= v<=1 e 1<= x=u-v<=2, isto é
1+v <= u <= 2+v
Portanto
integral duplaAf(x,y),dA =integralv=0^1integralu=1+v^2+v11+u^2,du,dv

Passo 5

Para facilitar, trocamos a ordem de integração. No plano uv a região é o paralelogramo cujos vértices em u vão de u=1 até u=3. Para cada u temos duas faixas:
  • Se 1<= u<=2, então v varia de 0 até u-1.
  • Se 2<= u<=3, então v varia de u-2 até 1.
    Logo
integral0^1!integral1+v^2+vdu1+u^2dv =integralu=1^2integralv=0^u-1dv1+u^2du +integralu=2^3integralv=u-2^1dv1+u^2du
As integrais em v dão comprimentos:
integralv=0^u-1dv = u-1, integralv=u-2^1dv = 1-(u-2)=3-u
Logo a integral torna-se
integral1^2u-11+u^2,du ;+; integral2^33-u1+u^2,du

Passo 6

Usamos as primitivas
integralu1+u^2du = tfrac12ln(1+u^2), integral11+u^2du = arctan u
Assim,
integralu-11+u^2du =tfrac12ln(1+u^2)-arctan u,
integral3-u1+u^2du =3arctan u - tfrac12ln(1+u^2)
Avaliando nos limites:
integral1^2u-11+u^2du =l[tfrac12ln(1+u^2)-arctan ur]1^2,
integral2^33-u1+u^2du =l[3arctan u - tfrac12ln(1+u^2)r]2^3

Passo 7

Calculando e somando, obtemos
integral duplaAf(x,y),dA =12ln!gl(54gr) +3arctan(3) -4arctan(2) +pi4

Resposta

integral duplaAf(x,y),dA =12ln!gl(54gr) +3arctan(3) -4arctan(2) +pi4

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