Seja
dentro da casca esférica
e 0 fora. Determine:
O fluxo que sai da superfície
. (2,5pto)
O fluxo que sai da superfície
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma densidade de carga elétrica,
mC/m³, que está presente numa casca esférica entre
e é zero fora dessa região. A gente precisa descobrir o fluxo elétrico que sai da superfície onde
. Vamos usar o conteúdo da Lei de Gauss para resolver isso, que nos ajuda a relacionar o fluxo elétrico com a carga elétrica encerrada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. É uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam por uma área. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico
através de uma superfície fechada é igual à carga encerrada
dividida pela permissividade do vácuo
:
Então, para encontrar
, precisamos primeiro calcular a carga elétrica encerrada dentro da superfície
.
Passo 3
Como a densidade de carga
só é diferente de zero entre
e
, e
está dentro desse intervalo, podemos calcular a carga encerrada integrando
sobre o volume dessa região.
A carga elétrica
é dada por:
Para uma casca esférica, o volume diferencial em coordenadas esféricas é:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral:
Passo 6
Agora que temos
mC, podemos calcular o fluxo elétrico usando a Lei de Gauss:
Resposta
O fluxo elétrico que sai da superfície
é aproximadamente
.