Seja rhov=6 r^-1 mC / m^3 dentro da casca esférica 1 m e 0 fora. Determine:
O fluxo que sai da superfície r=2 m. (2,5pto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma densidade de carga elétrica, rhov = 6r mC/m³, que está presente numa casca esférica entre 1,m < r < 4,m e é zero fora dessa região. A gente precisa descobrir o fluxo elétrico que sai da superfície onde r = 2,m. Vamos usar o conteúdo da Lei de Gauss para resolver isso, que nos ajuda a relacionar o fluxo elétrico com a carga elétrica encerrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. É uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam por uma área. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico Phi através de uma superfície fechada é igual à carga encerrada Qenc dividida pela permissividade do vácuo varepsilon0:
Phi = Qencvarepsilon0
Então, para encontrar Phi, precisamos primeiro calcular a carga elétrica encerrada dentro da superfície r = 2,m.

Passo 3

Como a densidade de carga rhov só é diferente de zero entre 1,m e 4,m, e 2,m está dentro desse intervalo, podemos calcular a carga encerrada integrando rhov sobre o volume dessa região.
A carga elétrica Qenc é dada por:
Qenc = integralV rhov , dV
Para uma casca esférica, o volume diferencial em coordenadas esféricas é:
dV = 4pi r^2 , dr

Passo 4

Vamos substituir rhov = 6r e dV = 4pi r^2 , dr na integral:
Qenc = integral1^2 6r cdot 4pi r^2 , dr = 24pi integral1^2 r , dr

Passo 5

Agora, resolvemos a integral:
24pi integral1^2 r , dr = 24pi [ r^22 ]1^2 = 24pi ( 42 - 12 ) = 24pi ( 32 ) = 36pi , mC

Passo 6

Agora que temos Qenc = 36pi mC, podemos calcular o fluxo elétrico usando a Lei de Gauss:
Phi = Qencvarepsilon0 = 36pi times 10^-3,C8,85 times 10^-12,C^2/(N cdot m^2) approx 1,287 times 10^9,N cdot m^2/C

Resposta

O fluxo elétrico que sai da superfície r = 2,m é aproximadamente 1,287 times 10^9,N cdot m^2/C.

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