1. Seja f: K \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x, y)=x^{2}-y^{2}, sendo K=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}. Dê uma parametrização para a superfície cuja imagem coincide com o gráfico de f e determine a área deste gráfico.
  2. Considere a superfície \sigma(u, v)=(R \cos u, R \operatorname{sen} u, v), com 0 \leq u \leq 2 \pi e 0 \leq v \leq h, onde R e h são constantes positivas.
    (a) Escreva a função r(\sigma(u, v)) que dá, para cada ponto da superfície, a distância em relação ao eixo O z.
    (b) Calcule a integral \iint_{\sigma} r^{2} \mathrm{~d} S, onde r é a função encontrada no item anterior.

Passo 1

Estamos com duas superfícies. Primeiro, o gráfico de f(x,y)=x^{2}-y^{2} sobre o disco K:\;x^{2}+y^{2}\le4. Para ele, vamos usar a fórmula de área de gráfico
\text{Área}=\iint_{K}\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\;dA.Á
Em seguida, a superfície cilíndrica \sigma(u,v)=(R\cos u,R\operatorname{sen} u,v), 0\le u\le2\pi, 0\le v\le h. Precisamos achar a distância ao eixo OZ, isto é, a função r, e depois calcular \displaystyle\iint_{\sigma}r^{2}\,dS usando o elemento de área paramétrico.

Passo 2

Parametrização do gráfico:
\varphi:K\to\mathbb{R}^{3},\quad \varphi(x,y)=\bigl(x,\;y,\;x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 3

Calculamos derivadas parciais
f_{x}=2x,\qquad f_{y}=-2y,
logo o fator sob a raiz é
1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}=1+4x^{2}+4y^{2}.
Assim
\text{Área}=\iint_{K}\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;dA.Á

Passo 4

Usamos coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\operatorname{sen}\theta, 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi. Então
\text{Área} =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{2}r\sqrt{1+4r^{2}}\,dr.Á
Fazendo u=1+4r^{2}, du=8r\,dr, obtemos
\int_{0}^{2}r\sqrt{1+4r^{2}}\,dr =\frac{1}{8}\int_{1}^{17}u^{1/2}du =\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\bigl(17^{3/2}-1\bigr) =\frac{1}{12}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr).
Portanto
\text{Área}=\;2\pi\cdot\frac{1}{12}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr) =\frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr).Á

Passo 5

Para \sigma(u,v)=(R\cos u,R\operatorname{sen} u,v), a distância ao eixo OZ é
r(\sigma(u,v)) =\sqrt{(R\cos u)^{2}+(R\operatorname{sen} u)^{2}} =R.

Passo 6

Calculamos \sigma_{u}=(-R\operatorname{sen} u,\,R\cos u,\,0) e \sigma_{v}=(0,0,1).
O módulo do produto vetorial é
\bigl\lvert\sigma_{u}\times\sigma_{v}\bigr\rvert =\bigl\lvert(R\cos u,R\operatorname{sen} u,0)\bigr\rvert =R,
logo dS=R\,du\,dv. Assim
\iint_{\sigma}r^{2}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{h}R^{2}\,(R\,dv\,du) =R^{3}\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{h}dv\,du =2\pi h\,R^{3}.

Resposta

  1. Parametrização do gráfico:
\varphi(x,y)=(x,y,x^{2}-y^{2}),\quad (x,y)\in K.
Área do gráfico:
\frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr).
2(a) r(\sigma(u,v))=R.
2(b) \displaystyle\iint_{\sigma}r^{2}\,dS=2\pi h\,R^{3}.

Exercícios relacionados