Seja f: K \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x, y)=x^{2}-y^{2}, sendo K=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}. Dê uma parametrização para a superfície cuja imagem coincide com o gráfico de f e determine a área deste gráfico.
Considere a superfície \sigma(u, v)=(R \cos u, R \operatorname{sen} u, v), com 0 \leq u \leq 2 \pi e 0 \leq v \leq h, onde R e h são constantes positivas.
(a) Escreva a função r(\sigma(u, v)) que dá, para cada ponto da superfície, a distância em relação ao eixo O z.
(b) Calcule a integral \iint_{\sigma} r^{2} \mathrm{~d} S, onde r é a função encontrada no item anterior.
Passo 1
Estamos com duas superfícies. Primeiro, o gráfico de f(x,y)=x^{2}-y^{2} sobre o disco K:\;x^{2}+y^{2}\le4. Para ele, vamos usar a fórmula de área de gráfico
Em seguida, a superfície cilíndrica \sigma(u,v)=(R\cos u,R\operatorname{sen} u,v), 0\le u\le2\pi, 0\le v\le h. Precisamos achar a distância ao eixo OZ, isto é, a função r, e depois calcular \displaystyle\iint_{\sigma}r^{2}\,dS usando o elemento de área paramétrico.