1. Considere uma corda vibrante de comprimento L. Se u(x, t) representa o deslocamento transversal da corda no ponto x e no instante t, a equação da onda que se propaga nessa corda é dada por:
a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}
Se a corda estiver inicialmente na configuração
u(x, 0)=f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 2 x / L & \text { se } & 0<x<L / 2 \\\\ 2(L-x) / L & \text { se } & L / 2<x<L \end{array}\right.
com velocidade inicial nula
\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=0
e extremidades fixas, isto é, u(0, t)=u(L, t)=0, \forall t, determine u(x, t).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar [u(x,t)) solução da equação da onda numa corda de comprimento L com as seguintes informações e condições iniciais e de contorno:
  • Equação da onda:
a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}},\qquad 0<x<L,\; t>0.
  • Condições de contorno (extremidades fixas):
u(0,t)=0,\qquad u(L,t)=0,\qquad \forall t\ge0.
  • Condições iniciais:
u(x,0)=f(x)=\begin{cases} \dfrac{2x}{L}, & 0<x<\dfrac{L}{2},\\[6pt] \dfrac{2(L-x)}{L}, & \dfrac{L}{2}<x<L, \end{cases} \qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0.
O que se pergunta especificamente: determinar explicitamente (u(x,t)] que satisfaça a PDE, as condições de contorno e as condições iniciais acima.]

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática e simples).
  • Método escolhido: expandir a condição inicial f(x)\) em série de senos (série de Fourier do tipo seno) e usar a representação por modos normais da equação da onda. Por que isso funciona? As condições de contorno \(u(0,t)=u(L,t)=0\) sugerem usar funções espaciais que já anulam nessas extremidades; as funções \(\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)\) anulam em \(x=0\) e \(x=L\) e formam um sistema ortogonal conveniente. Assim procuramos uma solução da forma de série: \[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Big(A_{n}\cos\!\big(a\lambda_{n} t\big)+B_{n}\sin\!\big(a\lambda_{n} t\big)\Big)\sin(\lambda_{n} x),
onde \lambda_{n}=\dfrac{n\pi}{L}. Vou explicar por etapas o porquê desta forma e como achar A_n,B_n.
  • Rápida lição sobre separação de variáveis e modos normais:
    • Inserindo \sin(\lambda_n x) no operador espacial obtém-se autovalores \lambda_n (modo espacial) e cada modo oscila no tempo com frequência \omega_n=a\lambda_n.
    • As funções \sin(\lambda_n x) são ortogonais no intervalo [0,L] e satisfazem
    \int_{0}^{L}\sin\!\big(\lambda_n x\big)\sin\!\big(\lambda_m x\big)\,dx=\begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \dfrac{L}{2},& n=m. \end{cases}
    • Coeficientes das séries espaciais são obtidos projetando (f(x)] (e a condição de velocidade inicial) sobre esses autovetores.]

Passo 3

Formulação da solução em série e determinação das fórmulas para os coeficientes.
  • A solução geral por séries (modo normal) para as condições de contorno dadas é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Big(A_{n}\cos\!\big(a\lambda_{n} t\big)+B_{n}\sin\!\big(a\lambda_{n} t\big)\Big)\sin(\lambda_{n} x), \qquad \lambda_{n}=\frac{n\pi}{L}.
  • Coeficientes A_n e B_n são obtidos impondo as condições iniciais em t=0:
    • Da condição u(x,0)=f(x) obtemos
    f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin(\lambda_{n} x).Multiplicando ambos os lados por \sin(\lambda_{m} x) e integrando de 0 a L, usando ortogonalidade, A_{m}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin(\lambda_{m} x)\,dx.
    • Da condição \partial_t u(x,0)=0 obtemos
    0=\sum_{n=1}^{\infty}a\lambda_{n} B_{n}\sin(\lambda_{n} x),logo, por ortogonalidade, cada B_n=0.
Portanto a solução reduz-se a
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos\!\big(a\lambda_{n} t\big)\sin(\lambda_{n} x), \qquad A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\!\big(\lambda_{n} x\big)\,dx.

Passo 4

Cálculo dos coeficientes A_n: simplificações por simetria e preparação da integral.
  • Observe a forma de f(x): é a “função triangular” simétrica em torno de x=L/2. Escrevendo isso:
f(L-x)=f(x)\quad\text{para }0<x<L.
  • Propriedade útil: para \lambda_n=\dfrac{n\pi}{L},
\sin\!\big(\lambda_n (L-x)\big)=(-1)^{n+1}\sin(\lambda_n x).
Multiplicando a igualdade f(L-x)=f(x) por \sin(\lambda_n x) e integrando dá
\int_{0}^{L}f(x)\sin(\lambda_n x)\,dx = (-1)^{n+1}\int_{0}^{L}f(x)\sin(\lambda_n x)\,dx.
Isto implica que a integral (e portanto A_n) é zero sempre que (-1)^{n+1}=-1, ou seja, para n par. Conclusão:
  • A_n=0 para todo n par.
  • Só precisamos calcular A_n para n ímpar.
  • Para n ímpar, a simetria permite escrever a integral de 0 a L como o dobro da integral de 0 a L/2:
\int_{0}^{L}f(x)\sin(\lambda_n x)\,dx = 2\int_{0}^{L/2}f(x)\sin(\lambda_n x)\,dx,
pois para n ímpar tem-se \sin(\lambda_n(L-x))=\sin(\lambda_n x).
  • Lembrando f(x)=\dfrac{2x}{L} em 0<x<L/2, obtemos para n ímpar:
A_{n}=\frac{2}{L}\cdot 2\int_{0}^{L/2}\frac{2x}{L}\sin(\lambda_n x)\,dx = \frac{8}{L^{2}}\int_{0}^{L/2} x\sin(\lambda_n x)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle J=\int_{0}^{L/2} x\sin(\lambda_n x)\,dx por integração por partes.
  • Seja \lambda_n=\dfrac{n\pi}{L}. Para calcular
J=\int_{0}^{L/2} x\sin(\lambda_n x)\,dx,
use integração por partes escolhendo u=x e dv=\sin(\lambda_n x)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{1}{\lambda_n}\cos(\lambda_n x). Assim
J = \left.-\frac{x}{\lambda_n}\cos(\lambda_n x)\right|_{0}^{L/2} + \frac{1}{\lambda_n}\int_{0}^{L/2}\cos(\lambda_n x)\,dx.
A integral restante é
\int_{0}^{L/2}\cos(\lambda_n x)\,dx = \left.\frac{1}{\lambda_n}\sin(\lambda_n x)\right|_{0}^{L/2} = \frac{1}{\lambda_n}\sin\!\big(\lambda_n L/2\big).
Substituindo, obtemos
J = -\frac{L}{2}\frac{\cos(\lambda_n L/2)}{\lambda_n} + \frac{1}{\lambda_n^{2}}\sin\!\big(\lambda_n L/2\big),
pois o termo em x=0 anula-se.

Passo 6

Avaliação de J usando que \lambda_n L/2 = \dfrac{n\pi}{2} e conclusão para A_n.
  • Note que
\lambda_n\frac{L}{2}=\frac{n\pi}{2}.
Para n ímpar, \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0 (por exemplo \cos(\pi/2)=0,\cos(3\pi/2)=0, etc.). Assim o primeiro termo em J desaparece para n ímpar, e ficamos com
J=\frac{1}{\lambda_n^{2}}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)\qquad\text{(para \(n\) ímpar).}í
  • Substituindo em A_n=\dfrac{8}{L^{2}}J obtemos, para n ímpar,
A_n=\frac{8}{L^{2}}\cdot\frac{1}{\lambda_n^{2}}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big).
Como \lambda_n^{2}=\dfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}, isto simplifica para
A_n=\frac{8}{n^{2}\pi^{2}}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big),\qquad\text{para \(n\) ímpar.}í
  • Para n par já vimos A_n=0. Observação: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0 para n par e para n ímpar vale \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=(-1)^{(n-1)/2}. Portanto podemos escrever, de forma explícita para os modos ímpares n=2m+1:
A_{2m+1}=\frac{8(-1)^{m}}{\pi^{2}(2m+1)^{2}}.

Passo 7

Construção da solução final combinando os coeficientes obtidos.
  • Como B_n=0 para todo n e A_n dados acima, a solução é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos\!\big(a\lambda_{n} t\big)\sin(\lambda_{n} x).
Substituindo \lambda_n=\dfrac{n\pi}{L} e o valor de A_n, e lembrando que A_n=0 para n par, obtém-se a forma mais conveniente escrevendo a soma apenas nos n ímpares n=2m+1:
u(x,t)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8(-1)^{m}}{\pi^{2}(2m+1)^{2}} \cos\!\left(\frac{a(2m+1)\pi}{L}t\right) \sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi}{L}x\right).
Esta série é a solução buscada: cada modo (2m+1) oscila com frequência \dfrac{a(2m+1)\pi}{L} e amplitude dada pelo coeficiente \dfrac{8(-1)^m}{\pi^2(2m+1)^2}.

Resposta

u(x,t)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8(-1)^{m}}{\pi^{2}(2m+1)^{2}} \cos\!\left(\frac{a(2m+1)\pi}{L}\,t\right) \sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi}{L}\,x\right).

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