Considere uma corda vibrante de comprimento L. Se u(x, t) representa o deslocamento transversal da corda no ponto x e no instante t, a equação da onda que se propaga nessa corda é dada por:
u(x, 0)=f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 2 x / L & \text { se } & 0<x<L / 2 \\\\ 2(L-x) / L & \text { se } & L / 2<x<L \end{array}\right.
com velocidade inicial nula
\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=0
e extremidades fixas, isto é, u(0, t)=u(L, t)=0, \forall t, determine u(x, t).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar [u(x,t)) solução da equação da onda numa corda de comprimento L com as seguintes informações e condições iniciais e de contorno:
O que se pergunta especificamente: determinar explicitamente (u(x,t)] que satisfaça a PDE, as condições de contorno e as condições iniciais acima.]
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática e simples).
Método escolhido: expandir a condição inicial f(x)\) em série de senos (série de Fourier do tipo seno) e usar a representação por modos normais da equação da onda. Por que isso funciona? As condições de contorno \(u(0,t)=u(L,t)=0\) sugerem usar funções espaciais que já anulam nessas extremidades; as funções \(\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)\) anulam em \(x=0\) e \(x=L\) e formam um sistema ortogonal conveniente. Assim procuramos uma solução da forma de série:
\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Big(A_{n}\cos\!\big(a\lambda_{n} t\big)+B_{n}\sin\!\big(a\lambda_{n} t\big)\Big)\sin(\lambda_{n} x),
onde \lambda_{n}=\dfrac{n\pi}{L}. Vou explicar por etapas o porquê desta forma e como achar A_n,B_n.
Rápida lição sobre separação de variáveis e modos normais:
Inserindo \sin(\lambda_n x) no operador espacial obtém-se autovalores \lambda_n (modo espacial) e cada modo oscila no tempo com frequência \omega_n=a\lambda_n.
As funções \sin(\lambda_n x) são ortogonais no intervalo [0,L] e satisfazem
Coeficientes A_n e B_n são obtidos impondo as condições iniciais em t=0:
Da condição u(x,0)=f(x) obtemos
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin(\lambda_{n} x).Multiplicando ambos os lados por \sin(\lambda_{m} x) e integrando de 0 a L, usando ortogonalidade,A_{m}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin(\lambda_{m} x)\,dx.
Da condição \partial_t u(x,0)=0 obtemos
0=\sum_{n=1}^{\infty}a\lambda_{n} B_{n}\sin(\lambda_{n} x),logo, por ortogonalidade, cada B_n=0.
Avaliação de J usando que \lambda_n L/2 = \dfrac{n\pi}{2} e conclusão para A_n.
Note que
\lambda_n\frac{L}{2}=\frac{n\pi}{2}.
Para n ímpar, \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0 (por exemplo \cos(\pi/2)=0,\cos(3\pi/2)=0, etc.). Assim o primeiro termo em J desaparece para n ímpar, e ficamos com
Para n par já vimos A_n=0. Observação: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0 para n par e para n ímpar vale \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=(-1)^{(n-1)/2}. Portanto podemos escrever, de forma explícita para os modos ímpares n=2m+1:
A_{2m+1}=\frac{8(-1)^{m}}{\pi^{2}(2m+1)^{2}}.
Passo 7
Construção da solução final combinando os coeficientes obtidos.
Como B_n=0 para todo n e A_n dados acima, a solução é
Substituindo \lambda_n=\dfrac{n\pi}{L} e o valor de A_n, e lembrando que A_n=0 para n par, obtém-se a forma mais conveniente escrevendo a soma apenas nos n ímpares n=2m+1:
Esta série é a solução buscada: cada modo (2m+1) oscila com frequência \dfrac{a(2m+1)\pi}{L} e amplitude dada pelo coeficiente \dfrac{8(-1)^m}{\pi^2(2m+1)^2}.