Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por:
T(x, y, z)=(2 x-y, x+3 y-z)
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) (1,0 ponto) Calcule a matriz de T da base \alpha=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\} de \mathbb{R}^{3} para a base \beta=\{(1,0),(0,2)\} de \mathbb{R}^{2}. Isto é, determine [T]_{\beta}^{\alpha}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(2x-y,\;x+3y-z).
As perguntas são:
  1. (parte (a)) Mostrar que T é uma transformação linear (ou seja, verificar as propriedades de aditividade e homogeneidade).
  2. (parte (b)) Calcular a matriz de T relativa à base \alpha=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\} de \mathbb{R}^{3} e à base \beta=\{(1,0),(0,2)\} de \mathbb{R}^{2}; isto é, determinar [T]_{\beta}^{\alpha}.
Informações relevantes dadas:
  • A fórmula explícita de T.
  • A base do domínio \alpha com três vetores (1,1,1), (0,1,1) e (0,0,1).
  • A base do contradomínio \beta com dois vetores (1,0) e (0,2).

Passo 2

O que significa mostrar que T é linear — revisão rápida e didática:
  • Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem T(u+v)=T(u)+T(v)e T(\lambda u)=\lambda T(u).
  • A ideia prática: aplicar a definição de T aos componentes dos vetores e verificar que as somas e multiplicações por escalares saem “por fora” da aplicação (ou seja, T age componente a componente através de combinações lineares).

Passo 3

Verificação direta das propriedades de linearidade (passo a passo):
Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) em \mathbb{R}^3. Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando T ao somatório, usando a definição de T,
T(u+v)=\bigl(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\; (x_1+x_2)+3(y_1+y_2)-(z_1+z_2)\bigr).
Agora distribuímos somas:
T(u+v)=\bigl((2x_1-y_1)+(2x_2-y_2),\; (x_1+3y_1-z_1)+(x_2+3y_2-z_2)\bigr).
Mas os pares entre parênteses são exatamente T(u) e T(v). Logo
T(u+v)=T(u)+T(v).
Agora verificação da homogeneidade: seja \lambda\in\mathbb{R}. Para u=(x,y,z),
\lambda u=(\lambda x,\lambda y,\lambda z).
Aplicando T e usando a definição,
T(\lambda u)=\bigl(2(\lambda x)-(\lambda y),\; \lambda x+3(\lambda y)-(\lambda z)\bigr).
Factorizando \lambda:
T(\lambda u)=\lambda\bigl(2x-y,\; x+3y-z\bigr)=\lambda T(u).
Como ambas as propriedades são válidas, concluímos que T é linear.

Passo 4

Estratégia para encontrar [T]_{\beta}^{\alpha} — aula prática:
  • Regra geral: a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} tem como coluna j as coordenadas do vetor T(\alpha_j) expressas na base \beta.
  • Assim, para cada vetor base \alpha_j do domínio, calculamos T(\alpha_j) (um vetor em \mathbb{R}^2) e depois escrevemos esse vetor como combinação linear dos vetores da base \beta.
  • No caso, a base \beta é \{b_1=(1,0),\; b_2=(0,2)\}. Se um vetor w=(w_1,w_2)\in\mathbb{R}^2 for escrito como w = c_1 b_1 + c_2 b_2 = c_1(1,0) + c_2(0,2) = (c_1,\;2c_2),então as coordenadas de w na base \beta são (c_1,c_2), ou seja c_1 = w_1,\qquad c_2 = \frac{w_2}{2}.
  • Vamos aplicar isso para cada vetor da base \alpha.

Passo 5

Cálculo de T nos vetores da base \alpha e expressão nas coordenadas de \beta:
  1. Para \alpha_1=(1,1,1):
T(1,1,1)=\bigl(2\cdot1-1,\;1+3\cdot1-1\bigr)=(1,3).
Usando a regra de coordenadas na base \beta: c_1=1 e c_2=\dfrac{3}{2}.
Portanto as coordenadas de T(\alpha_1) em \beta são
\begin{pmatrix}1\\[4pt]\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.
  1. Para \alpha_2=(0,1,1):
T(0,1,1)=\bigl(2\cdot0-1,\;0+3\cdot1-1\bigr)=(-1,2).
Coordenadas em \beta: c_1=-1 e c_2=\dfrac{2}{2}=1.
Assim
\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  1. Para \alpha_3=(0,0,1):
T(0,0,1)=\bigl(2\cdot0-0,\;0+3\cdot0-1\bigr)=(0,-1).
Coordenadas em \beta: c_1=0 e c_2=\dfrac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
Logo
\begin{pmatrix}0\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Montagem final da matriz [T]_{\beta}^{\alpha}:
  • Colocamos as coordenadas encontradas como colunas, na ordem dos vetores da base \alpha.
  • Assim
[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[6pt] \tfrac{3}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Esta é a matriz de T que pega coordenadas de um vetor em \alpha (coluna 3-vector) e dá as coordenadas do resultado em \beta (coluna 2-vector).]

Resposta

(a) T é linear.\n(b) [T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[6pt] \tfrac{3}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

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