Considere a transformação linear
definida por:
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que
é uma transformação linear.
(b) (1,0 ponto) Calcule a matriz de
da base
de
para a base
de
. Isto é, determine
.
(b) (1,0 ponto) Calcule a matriz de
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
As perguntas são:
- (parte (a)) Mostrar que
é uma transformação linear (ou seja, verificar as propriedades de aditividade e homogeneidade). - (parte (b)) Calcular a matriz de
relativa à base de e à base de ; isto é, determinar .
Informações relevantes dadas:
- A fórmula explícita de
. - A base do domínio
com três vetores , e . - A base do contradomínio
com dois vetores e .
Passo 2
O que significa mostrar que
é linear — revisão rápida e didática:
- Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores e escalar , valem e - A ideia prática: aplicar a definição de
aos componentes dos vetores e verificar que as somas e multiplicações por escalares saem “por fora” da aplicação (ou seja, age componente a componente através de combinações lineares).
Passo 3
Verificação direta das propriedades de linearidade (passo a passo):
Sejam e
em
. Então
Sejam
Aplicando
ao somatório, usando a definição de
,
Agora distribuímos somas:
Mas os pares entre parênteses são exatamente
e
. Logo
Agora verificação da homogeneidade: seja
. Para
,
Aplicando
e usando a definição,
Factorizando
:
Como ambas as propriedades são válidas, concluímos que
é linear.
Passo 4
Estratégia para encontrar
— aula prática:
- Regra geral: a matriz
tem como coluna as coordenadas do vetor expressas na base . - Assim, para cada vetor base
do domínio, calculamos (um vetor em ) e depois escrevemos esse vetor como combinação linear dos vetores da base . - No caso, a base
é . Se um vetor for escrito como então as coordenadas de na base são , ou seja - Vamos aplicar isso para cada vetor da base
.
Passo 5
Cálculo de
nos vetores da base
e expressão nas coordenadas de
:
- Para
:
Usando a regra de coordenadas na base
:
e
.
Portanto as coordenadas de em
são
Portanto as coordenadas de
- Para
:
Coordenadas em
:
e
.
Assim
Assim
- Para
:
Coordenadas em
:
e
.
Logo
Logo
Passo 6
Montagem final da matriz
:
- Colocamos as coordenadas encontradas como colunas, na ordem dos vetores da base
. - Assim
Esta é a matriz de
que pega coordenadas de um vetor em
(coluna 3-vector) e dá as coordenadas do resultado em
(coluna 2-vector).]
Resposta
(a)
é linear.\n(b)
]