Seja
uma transformação linear, quando verdadeiro, assinale (
) e prove, quando falso, assinale
e exiba um contraexemplo:
( ) Se
, então
é sobrejetora se, e somente se,
.
( ) A imagem de uma transformação linear é um subespaço de
.
( ) Se
é injetora, então necessariamente
.
( ) Suponha que
. Dada uma matriz
, a aplicação
é bijetora se, e somente se, $\operatorname{det}(A) \neq 0.
( ) Se
( ) A imagem de uma transformação linear é um subespaço de
( ) Se
( ) Suponha que
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
- Informação inicial:
é uma transformação linear entre espaços vetoriais (assume-se finito-dimensionais quando o enunciado menciona ). - O enunciado pede para, para cada uma das quatro afirmações, marcar
se for verdadeira (e provar) ou se for falsa (e fornecer contraexemplo).
As quatro afirmações a avaliar são:
- Se
, então é sobrejetora se, e somente se, . - A imagem de uma transformação linear é um subespaço de
. - Se
é injetora, então necessariamente . - Suponha que
. Dada uma matriz , a aplicação é bijetora se, e somente se, .
Passo 2
Definições e conceitos básicos (isso vai ser usado nas demonstrações; explico de forma simples).
-
(núcleo ou kernel) é o conjunto . É sempre um subespaço de . -
(imagem) é o conjunto . -
é injetora (ou um a um) se implica . Equivalentemente, injetora . -
é sobrejetora se . - Observação intuitiva: uma transformação linear “não pode criar” dimensão; relações entre dimensões serão essenciais.
Passo 3
Teorema fundamental (ferramenta principal): Teorema da dimensão (rank–nullity).
- Para uma transformação linear
com de dimensão finita vale
- Interpretação: a dimensão do domínio se divide entre a parte “perdida” (o kernel) e a dimensão da imagem (o posto, ou rank).
Vou usar essa fórmula em várias demonstrações abaixo. Ela é fácil de justificar: escolhe-se uma base do kernel e completa-se para uma base de
; as imagens dos vetores adicionados formam uma base da imagem.
Passo 4
Avaliação da afirmação 1 (a afirmação é falsa). Texto: “Se
, então
é sobrejetora se, e somente se,
.”
Prova por raciocínio geral que mostra a falsidade e depois dou um contraexemplo concreto.
- Suponha que
seja sobrejetora. Então e . Pela fórmula da dimensão,
Se
, então
(a menos que
, que contradiz a hipótese). Logo, quando
, uma transformação sobrejetora geralmente tem
. Assim a implicação "sobrejetora
" é falsa no caso
.
- De modo semelhante, suponha
(ou seja, injetora). Pela fórmula da dimensão,
Se
, então
não precisa ser igual a
, então
pode não ser sobrejetora. Portanto a implicação "
sobrejetora" também é falsa quando as dimensões são diferentes.
Contraexemplos concretos (mostro ambos os sentidos, assim fica clarinho):
- Exemplo A (surjetora mas
): tome , e
Aqui
,
e
é sobrejetora (qualquer
é imagem de
). Porém
- Exemplo B (injetora mas não sobrejetora): tome
, e
Aqui
(logo
injetora) mas
é o plano
, diferente de
, logo não é sobrejetora.
Conclusão do passo: a afirmação 1 é
.
Passo 5
Avaliação da afirmação 2 (a afirmação é verdadeira). Texto: “A imagem de uma transformação linear é um subespaço de
.”
Prova direta (muito didática):
- Definição:
. - Verificações para ser subespaço:
- Vetor zero:
, então . - Fechamento por soma: tome
. Então existem tais que e . Como é linear,
- Fechamento por multiplicação escalar: para
e ,
- Vetor zero:
- Portanto
satisfaz as propriedades de subespaço de .
Conclusão do passo: a afirmação 2 é
.
Passo 6
Avaliação da afirmação 3 (a afirmação é verdadeira, sob a hipótese de dimensões finitas mencionadas no enunciado). Texto: “Se
é injetora, então necessariamente
.”
Demonstração com rank–nullity:
-
injetora , então . - Pela fórmula da dimensão,
- Como
é subespaço de , tem . - Assim
.
Intuição: uma aplicação injetora coloca os vetores de
em vetores distintos de
; portanto não se pode ter mais graus de liberdade (dimensão) em
do que em
.
Conclusão do passo: a afirmação 3 é
.
Passo 7
Avaliação da afirmação 4 (a afirmação é verdadeira). Texto: “Suponha
. Dada
, a aplicação
é bijetora se, e somente se,
.”
Prova detalhada das duas implicações.
-
Lado (
): suponha . Então é matriz invertível (essa é a definição/algo bem conhecido: matriz quadrada tem inversa ). Se é invertível existe tal que . Isso fornece uma transformação linear inversa , logo é bijetora (injetora e sobrejetora). -
Lado (
): suponha é bijetora. Então é injetora, logo . Para a transformação dada por , é o espaço de soluções de . Se tem apenas a solução trivial, então as colunas de são linearmente independentes, portanto formam uma base de (pois são vetores em ). Logo e é invertível; em particular . -
Alternativa usando rank–nullity: bijetiva implica injetiva, então
. Pela fórmula da dimensão , ou seja . Uma matriz quadrada de posto é invertível e tem determinante não nulo.
Conclusão do passo: a afirmação 4 é
.
Passo 8
Resumo final (sem repetir provas): os resultados já foram demonstrados ou dados contraexemplos. Força aí nos estudos — lembrando que o teorema da dimensão é a ferramenta-chave para relacionar injetividade/sobrejetividade com dimensões.
Resposta
(F)
(V)
(V)
(V)
(V)
(V)
(V)