Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e T: V \rightarrow V uma transformação linear. Seja W \subseteq V um subespaço invariante sob T, isto é, T(W) \subseteq W. Considere o espaço quociente V / W, cujos elementos são as classes de equivalência \bar{v}. Definimos a aplicação induzida \bar{T}: V / W \rightarrow V / W por \bar{T}(\bar{v})=\bar{T}(\bar{v}). Prove que \bar{T} é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Espaço vetorial de dimensão finita V.
Transformação linear T: V \to V.
Subespaço W \subseteq V tal que T(W) \subseteq W (isto é, W é invariante por T).
Espaço quociente V/W. Os elementos de V/W são as classes \bar{v}=v+W (também chamadas de cosets).
Definiu-se a aplicação induzida \bar{T}:V/W\to V/W pela regra\bar{T}(\bar{v})=\overline{T(v)}.
A pergunta que precisamos responder é: provar que \bar{T} é uma transformação linear (ou seja, provar que \bar{T} é bem-definida e que preserva soma e multiplicação por escalares).
Passo 2
O que significa cada peça usada na prova (revisão didática, passo-a-passo):
Classe (coset) \bar{v} é o conjunto \bar{v}=v+W=\{v+w \mid w\in W\}. Duas representantes v,u\in V representam a mesma classe quando v-u\in W. Escreve-se \bar{v}=\bar{u} se e só se v-u\in W.
Operações no quociente: a soma e a multiplicação por escalar em V/W são dadas por
para a escalar. Essas operações são bem-definidas (isto é, não dependem da escolha do representante) — esse é um fato padrão sobre espaços quociente que usaremos. Se for útil lembrar por que: se v' = v+w_1 e u' = u+w_2 com w_1,w_2\in W, então v'+u' = v+u+(w_1+w_2) e w_1+w_2\in W, logo \overline{v'+u'}=\overline{v+u}.
O que significa “bem-definida” para \bar{T}: a regra \bar{T}(\bar{v})=\overline{T(v)} usa um representante v de \bar{v}. Precisamos mostrar que, se eu escolher outro representante u com \bar{u}=\bar{v}, então \overline{T(u)}=\overline{T(v)}. Só assim \bar{T}(\bar{v}) não dependerá do representante.
Passo 3
Prova de que \bar{T} é bem-definida (parte crucial). Seja \bar{v}\in V/W e tomem-se dois representantes v,u\in V tais que \bar{v}=\bar{u}. Por definição de classes, isso quer dizer que
v-u\in W.
Como W é invariante por T, aplica-se T e obtém-se
T(v-u)=T(v)-T(u)\in W,
pois T(v-u)\in T(W)\subseteq W. Portanto T(v)-T(u)\in W, o que implica que \overline{T(v)}=\overline{T(u)}. Assim a imagem \overline{T(\cdot)} não depende do representante escolhido, e logo \bar{T} é bem-definida.
Comentário didático: a invariância T(W)\subseteq W é exatamente o que garante que diferenças de representantes (que estão em W) sejam levadas novamente para W por T; sem essa propriedade a definição poderia depender do representante.
Passo 4
Prova da aditividade: \bar{T}(\bar{v}+\bar{u})=\bar{T}(\bar{v})+\bar{T}(\bar{u}).
Sejam \bar{v},\bar{u}\in V/W e escolham representantes v,u\in V. Então, pelas definições de operação no quociente e da aplicação induzida,
Conclusão: já demonstramos que \bar{T} é bem-definida, que preserva soma e que preserva multiplicação por escalar. Essas três propriedades implicam que \bar{T}:V/W\to V/W é uma transformação linear.
Pequena ilustração para fixar a intuição: pense em V=\mathbb{R}^2, W a reta gerada por (1,0), e T uma transformação linear que leva vetor da forma (x,0) para outro vetor também na reta (\ast,0) (ou seja, T(W)\subseteq W). Então aplicar T e depois “ignorar” a componente em W ou primeiro “ignorar” e depois aplicar a transformação induzida no quociente dá o mesmo resultado — é isso que a prova formal acima garante.
Resposta
A aplicação \bar{T}:V/W\to V/W definida por \bar{T}(\bar{v})=\overline{T(v)} é linear.