Seja
A=[rrr 1 & 0 & -2 1 & -4 & -1 2 & 2 & 0 ]
(a) ( 1,5 pontos): Determine a inversa da matriz A.
(b) ( 1,0 ponto): Escreva a matriz A^-1 como produto de matrizes elementares.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & -2 1 & -4 & -1 2 & 2 & 0
e pede (a) sua inversa e (b) expressar A^-1 como produto de matrizes elementares. Vamos usar eliminação de Gauss–Jordan na matriz aumentada l[Amid Ir] para achar A^-1, e em seguida anotar cada operação por sua matriz elementar correspondente.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e eliminamos abaixo de a11:
l[Amid Ir] = 1 & 0 & -2 &mid& 1 & 0 & 0 1 & -4 & -1 &mid& 0 & 1 & 0 2 & 2 & 0 &mid& 0 & 0 & 1
Aplicamos
R2 R2 - R1, R3 R3 - 2,R1,
que gera
1 & 0 & -2 &mid& 1 & 0 & 0 0 & -4 & 1 &mid& -1 & 1 & 0 0 & 2 & 4 &mid& -2 & 0 & 1

Passo 3

Normalizamos a segunda linha:
R2 -tfrac14,R2 ;Longrightarrow; 1 & 0 & -2 &mid& 1 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac14 &mid& tfrac14 & -tfrac14 & 0 0 & 2 & 4 &mid& -2 & 0 & 1

Passo 4

Eliminamos abaixo de a22:
R3 R3 - 2,R2 ;Longrightarrow; 1 & 0 & -2 &mid& 1 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac14 &mid& tfrac14 & -tfrac14 & 0 0 & 0 & tfrac92 &mid& -tfrac52 & tfrac12 & 1

Passo 5

Normalizamos a terceira linha:
R3 tfrac29,R3 ;Longrightarrow; 1 & 0 & -2 &mid& 1 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac14 &mid& tfrac14 & -tfrac14 & 0 0 & 0 & 1 &mid& -tfrac59 & tfrac19 & tfrac29

Passo 6

Eliminamos acima de a33:
R2 R2 + tfrac14,R3, R1 R1 + 2,R3
para obter a forma reduzida:
1 & 0 & 0 &mid& -tfrac19 & tfrac29 & tfrac49 0 & 1 & 0 &mid& tfrac19 & -tfrac29 & tfrac118 0 & 0 & 1 &mid& -tfrac59 & tfrac19 & tfrac29
Daí lemos
A^-1 = -tfrac19 & tfrac29 & tfrac49 tfrac19 & -tfrac29 & tfrac118 -tfrac59 & tfrac19 & tfrac29

Passo 7

Agora cada etapa Ri dots corresponde a uma matriz elementar Ek tal que Ekl[dotsr] executa essa operação. Em ordem, as matrizes elementares são:
E1!! =
1&0&0 -1&1&0 0&0&1 para R2!-!R1,
E2!! =
1&0&0 0&1&0 -2&0&1 para R3!-!2R1,
E3!! =
1&0&0 0&-tfrac14&0 0&0&1 para -tfrac14,R2,
E4!! =
1&0&0 0&1&0 0&-2&1 para R3!-!2R2,
E5!! =
1&0&0 0&1&0 0&0&tfrac29 para tfrac29R3,
E6!! =
1&0&0 0&1&tfrac14 0&0&1 para R2!+!tfrac14R3,
E7!! =
1&0&2 0&1&0 0&0&1 para R1!+!2R3.
Como cada Ek age sobre a matriz resultante anterior até chegar em I, conclui-se
A^-1 ;=; E7,E6,E5,E4,E3,E2,E1

Resposta

(a)
A^-1 = -tfrac19 & tfrac29 & tfrac49 tfrac19 & -tfrac29 & tfrac118 -tfrac59 & tfrac19 & tfrac29
(b)
A^-1 = E7,E6,E5,E4,E3,E2,E1,
onde
E1=1&0&0-1&1&00&0&1,, E2=1&0&00&1&0-2&0&1,, E3=1&0&00&-tfrac14&00&0&1,
E4=1&0&00&1&00&-2&1,, E5=1&0&00&1&00&0&tfrac29,, E6=1&0&00&1&tfrac140&0&1,, E7=1&0&20&1&00&0&1

Exercícios relacionados