Seja o subespaço de gerado pelos vetores de .
(a) (1, 0 ponto): Verifique se está em .
(b) ( 1,0 ponto): Determine uma base para . Qual a dimensão de ?
(c) ( 1,0 ponto): Determine uma base para que possua dois vetores de .
Passo 1
O enunciado define o subespaço gerado pelos vetores com
Precisamos:
Verificar se está em (isto é, se existe combinação linear que a gera).
Encontrar uma base de e sua dimensão (estudar dependências lineares em ).
Estender dois vetores de a uma base de .
Passo 2
Para ver se
Escrevendo coordenada a coordenada:
Das duas primeiras equações obtemos dá . Na terceira vem . Logo há solução (por ex. ), ou seja,
Logo .
Passo 3
Para achar uma base de W, consideramos dependência linear
a,v1 + b,v2 + c,v3 + d,v4 = 0
Repetindo análise análoga à do passo anterior, chega-se a
d=-b, a=-b, c=2b,
o que implica uma única família de dependência não trivial (grau de liberdade 1). Em particular
Logo v1,v2,v3 é um conjunto gerador livre de W, e portanto é base de W. A dimensão de W é o número de vetores dessa base, isto é, dim W=3.
Passo 4
Para estender dois vetores de alpha a uma base de R^4, escolhemos, por exemplo, v1 e v2 (que são independentes) e adicionamos dois vetores fora de W, como e1=(1,0,0,0) e e2=(0,1,0,0).
Verifica-se facilmente que v1,v2,e1,e2 é um conjunto de quatro vetores linearly independentes em R^4, daí formam uma base de R^4 contendo dois vetores de alpha.
Resposta
(a) Sim. Uma decomposição é
(1,3,2,-1) = 2,v1 + 0,v2 + 2,v3 -1,v4,
logo vec uin W.
(b) Uma base de W é
,v1=(1,2,1,-1),;v2=(2,3,1,-2),;v3=(0,0,1,0),
e dim W = 3.
(c) Uma base de R^4 contendo dois vetores de alpha é, por exemplo,