Seja W o subespaço de R^4 gerado pelos vetores de alpha=(1,2,1,-1),(2,3,1,-2),(0,0,1,0),(1,1,2,-1).
(a) (1, 0 ponto): Verifique se u=(1,3,2,-1) está em W.
(b) ( 1,0 ponto): Determine uma base para W. Qual a dimensão de W ?
(c) ( 1,0 ponto): Determine uma base para R^4 que possua dois vetores de alpha.

Passo 1

O enunciado define o subespaço WsubsetR^4 gerado pelos vetores
alpha=v1,v2,v3,v4 com
v1=(1,2,1,-1), v2=(2,3,1,-2), v3=(0,0,1,0), v4=(1,1,2,-1)
Precisamos:
  1. Verificar se vec u=(1,3,2,-1) está em W (isto é, se existe combinação linear que a gera).
  2. Encontrar uma base de W e sua dimensão (estudar dependências lineares em alpha).
  3. Estender dois vetores de alpha a uma base de R^4.

Passo 2

Para ver se
Escrevendo coordenada a coordenada:
Das duas primeiras equações obtemos . Na terceira vem . Logo há solução (por ex. ), ou seja,
Logo .

Passo 3

Para achar uma base de W, consideramos dependência linear
a,v1 + b,v2 + c,v3 + d,v4 = 0
Repetindo análise análoga à do passo anterior, chega-se a
d=-b, a=-b, c=2b,
o que implica uma única família de dependência não trivial (grau de liberdade 1). Em particular
-,v1 + v2 + 2,v3 - v4 = 0 Longrightarrow v4 = -,v1 + v2 + 2,v3
Logo v1,v2,v3 é um conjunto gerador livre de W, e portanto é base de W. A dimensão de W é o número de vetores dessa base, isto é, dim W=3.

Passo 4

Para estender dois vetores de alpha a uma base de R^4, escolhemos, por exemplo, v1 e v2 (que são independentes) e adicionamos dois vetores fora de W, como
e1=(1,0,0,0) e e2=(0,1,0,0).
Verifica-se facilmente que v1,v2,e1,e2 é um conjunto de quatro vetores linearly independentes em R^4, daí formam uma base de R^4 contendo dois vetores de alpha.

Resposta

(a) Sim. Uma decomposição é
(1,3,2,-1) = 2,v1 + 0,v2 + 2,v3 -1,v4,
logo vec uin W.
(b) Uma base de W é
,v1=(1,2,1,-1),;v2=(2,3,1,-2),;v3=(0,0,1,0),
e dim W = 3.
(c) Uma base de R^4 contendo dois vetores de alpha é, por exemplo,
l,v1=(1,2,1,-1),;v2=(2,3,1,-2),;e1=(1,0,0,0),;e2=(0,1,0,0)r

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