6 Seja A=(rrrr1 & 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 -2 & -2 & 2 & 1 1 & 1 & -1 & 0). Verifique que o polinômio característico de A é pA(x)=x^2(x-1)^2. Verifique que este é também o polinômio minimal.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a matriz
A= 1 & 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 -2 & -2 & 2 & 1 1 & 1 & -1 & 0
1. Mostrar que o polinômio característico de A é
pA(x)=x^2,(x-1)^2
2. Verificar que o polinômio minimal de A é exatamente o mesmo, ,mA(x)=x^2(x-1)^2.
Conteúdo necessário:
  • Cálculo de determinantes de matrizes em bloco triangular superior.
  • Definição de polinômio minimal: é o polinômio monico de menor grau que anula A e divide pA(x).
  • Relação entre multiplicidade geométrica (dimensão do núcleo de A-lambda I) e tamanho dos blocos de Jordan para cada autovalor, que nos dá o expoente mínimo necessário em cada fator (x-lambda) de mA(x).

Passo 2

Escrevemos A em blocos 2times 2:
A= B & 0[6pt] C & D , B=1&1-1&-1,; D=2&1-1&0
Como o bloco superior direito é zero,
det(A - xI)=det(B - xI),det(D - xI)
Calculamos cada fator:
1. B - xI=1-x&1-1&-1-x
det(B-xI)=(1-x)(-1-x)-(-1)cdot1 =-(1-x^2)+1 =x^2
2. D - xI=2-x&1-1&-x
det(D-xI)=(2-x)(-x)-(-1)cdot1 =-2x+x^2+1 =x^2-2x+1 =(x-1)^2
Portanto
pA(x)=det(A-xI)=x^2,(x-1)^2
]

Passo 3

Para achar o polinômio minimal sabemos que ele é um divisor monico de e que .
Escrevemos
Para decidir e usamos a multiplicidade geométrica de cada autovalor:
  • Autovalor : o núcleo de tem dimensão
    .
    A partição em blocos dá (pois tem posto ) e (pois ), logo
    Como a multiplicidade algébrica de em é e a geométrica é , precisamos de para anular todos os blocos de Jordan associados a .
  • Autovalor : examinamos . Ainda por blocos,
    e (cada um cai de posto em ), total ,
    .
    Mas a multiplicidade algébrica de é ; se a geométrica fosse , seriam blocos triviais e bastaria .
    No entanto, esse cálculo de posto mostra que cada um dos dois blocos em e tem exatamente uma dimensão de núcleo, ou seja, para cada bloco o posto cai em , sobra dimensão — o que implica que cada autovalor está em um bloco de Jordan de tamanho .
    Logo precisamos de .
Portanto
que é exatamente .

Resposta

O polinômio característico é
pA(x)=x^2,(x-1)^2
e o polinômio minimal também é
mA(x)=x^2,(x-1)^2

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