2. Verificar que o polinômio minimal de A é exatamente o mesmo, ,mA(x)=x^2(x-1)^2.
Conteúdo necessário:
Cálculo de determinantes de matrizes em bloco triangular superior.
Definição de polinômio minimal: é o polinômio monico de menor grau que anula A e divide pA(x).
Relação entre multiplicidade geométrica (dimensão do núcleo de A-lambda I) e tamanho dos blocos de Jordan para cada autovalor, que nos dá o expoente mínimo necessário em cada fator (x-lambda) de mA(x).
Para achar o polinômio minimal sabemos que ele é um divisor monico de e que .
Escrevemos
Para decidir e usamos a multiplicidade geométrica de cada autovalor:
Autovalor : o núcleo de tem dimensão
.
A partição em blocos dá (pois tem posto ) e (pois ), logo
Como a multiplicidade algébrica de em é e a geométrica é , precisamos de para anular todos os blocos de Jordan associados a .
Autovalor : examinamos . Ainda por blocos,
e (cada um cai de posto em ), total , .
Mas a multiplicidade algébrica de é ; se a geométrica fosse , seriam blocos triviais e bastaria .
No entanto, esse cálculo de posto mostra que cada um dos dois blocos em e tem exatamente uma dimensão de núcleo, ou seja, para cada bloco o posto cai em , sobra dimensão — o que implica que cada autovalor está em um bloco de Jordan de tamanho .
Logo precisamos de .