Seja S=(3 a+4 b-4 c, 2 a-4 b-6 c,-2 a-4 b+2 c) / a, b, c in R um subespaço de R^3.
Determine uma base para S.

Passo 1

O enunciado define
S=(3a+4b-4c,;2a-4b-6c,;-2a-4b+2c)mid a,b,cinR,
ou seja, todo vetor em S é combinação linear de três vetores em R^3.
Conteúdo: subespaços, spans e independência linear. Vamos escrever S como span e eliminar vetores dependentes.

Passo 2

Reescrevendo a combinação, todo (x,y,z)inS vale
(x,y,z) = a,(3,2,-2) + b,(4,-4,-4) + c,(-4,-6,2)
Definimos
v1=(3,2,-2), v2=(4,-4,-4), v3=(-4,-6,2),
logo S=spanv1,v2,v3.

Passo 3

Para ver se há dependência, procuramos
Isso dá o sistema
Somando as duas primeiras equações:
Substituindo em é combinação de e .

Passo 4

Como v3 depende de v1,v2, basta verificar que v1 e v2 são independentes. Se existisse lambda tal que v2=lambda v1, teríamos
(4,-4,-4)=lambda(3,2,-2),
o que exigiria 4=3lambda e -4=2lambda, impossível (pois lambda=tfrac43neq -2). Logo v1,v2 são independentes e formam base de S.

Resposta

Uma base de S é
(3,2,-2),;(4,-4,-4)

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