O enunciado define ,
ou seja, todo vetor em é combinação linear de três vetores em .
Conteúdo: subespaços, spans e independência linear. Vamos escrever como span e eliminar vetores dependentes.
Passo 2
Reescrevendo a combinação, todo vale
Definimos
logo .
Passo 3
Para ver se há dependência, procuramos
Isso dá o sistema
Somando as duas primeiras equações:
Substituindo em é combinação de e .
Passo 4
Como v3 depende de v1,v2, basta verificar que v1 e v2 são independentes. Se existisse lambda tal que v2=lambda v1, teríamos
(4,-4,-4)=lambda(3,2,-2),
o que exigiria 4=3lambda e -4=2lambda, impossível (pois lambda=tfrac43neq -2). Logo v1,v2 são independentes e formam base de S.