Sobre Subespaços Vetoriais
Defina: Subespaço vetorial; Soma de subespaço: Soma direta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Hoje a gente vai falar sobre Subespaços Vetoriais, a Soma de Subespaços e a Soma Direta. Esses conceitos são fundamentais na álgebra linear, que é a matéria que estuda vetores, espaços vetoriais e as transformações entre eles. Para entender tudo isso, a gente vai precisar lembrar o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que definem um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é um Subespaço Vetorial. Imagine que você tem um espaço maior, tipo o espaço tridimensional que conhecemos. Um subespaço é como uma “parte” desse espaço que também é um espaço vetorial por si só. Para que um conjunto de vetores seja considerado um subespaço, ele precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor que nada faz acontecer (o zero) precisa estar no subespaço.
  2. Fechado para adição: Se você pegar dois vetores dentro do subespaço e somar eles, o resultado também deve estar no subespaço.
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no subespaço e multiplicar ele por qualquer número (escalar), o resultado também deve estar no subespaço.
Matematicamente, se V é um subespaço de U, então:
  • 0 in V
  • Se u, v in V , então u + v in V
  • Se u in V e c é um escalar, então cu in V

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a Soma de Subespaços. Quando você tem dois subespaços, digamos U e W, dentro de um espaço maior, a soma desses subespaços, denotada por U + W, é o conjunto de todos os vetores que podem ser formados somando um vetor de U com um vetor de W.
Ou seja:
U + W = u + w , | , u in U e w in W
Esse conjunto também é um subespaço, desde que U e W sejam subespaços do mesmo espaço vetorial.

Passo 4

Por fim, vamos entender a Soma Direta. A soma direta de dois subespaços U e W ocorre quando a interseção entre eles é apenas o vetor zero. Quando isso acontece, dizemos que U e W se somam diretamente, e escrevemos:
U oplus W
Isso significa que cada vetor em U + W pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de U e um vetor de W. Em outras palavras, não há ambiguidade na representação dos vetores nesse caso.

Resposta

Subespaço Vetorial é um conjunto de vetores dentro de um espaço vetorial que contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar. A Soma de Subespaços U + W consiste em todos os vetores que podem ser formados somando um vetor de U com um vetor de W. A Soma Direta U oplus W ocorre quando a interseção entre U e W é apenas o vetor zero, garantindo que cada vetor em U + W tenha uma representação única como soma de vetores de U e W.

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