Sobre Subespaços Vetoriais
Se U e V são subespaços vetoriais do W. Mostre ou dê contra exemplo: U cap V é um subespaço vetorial de W ? U+V é subespaço vetorial de W ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre subespaços vetoriais! A gente tem dois subespaços, U e V , dentro de um outro espaço vetorial W . A pergunta é: será que a interseção U cap V e a soma U + V também são subespaços de W ? Para resolver isso, vamos lembrar o que define um subespaço vetorial e verificar se essas operações mantêm essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a interseção U cap V . A interseção de dois conjuntos é o conjunto de elementos que estão em ambos os conjuntos. No caso dos subespaços, queremos ver se os elementos que estão tanto em U quanto em V formam um subespaço de W .

Passo 3

Para ser um subespaço vetorial, um conjunto precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado para adição: se você pegar dois vetores no conjunto, a soma deles também está no conjunto.
  3. É fechado para multiplicação por escalar: se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número, o resultado também está no conjunto.

Passo 4

Vamos verificar essas condições para U cap V :
  1. Vetor zero: Como U e V são subespaços, ambos contêm o vetor zero. Logo, U cap V também contém o vetor zero.
  2. Fechamento para adição: Se u e v estão em U cap V , então u e v estão em ambos U e V . Como U e V são fechados para adição, u + v está em U e em V , portanto, está em U cap V .
  3. Fechamento para multiplicação por escalar: Se u está em U cap V e c é um escalar, então cu está em U e em V , logo, está em U cap V .
Assim, U cap V cumpre todas as condições para ser um subespaço vetorial de W .

Passo 5

Agora vamos falar sobre a soma U + V . A soma de dois subespaços é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U e um vetor de V , ou seja:
U + V = u + v mid u in U, v in V
Queremos ver se U + V também é um subespaço de W .

Passo 6

Vamos verificar as três condições para U + V :
  1. Vetor zero: Se pegarmos u = 0 em U e v = 0 em V , então u + v = 0 . Logo, 0 in U + V .
  2. Fechamento para adição: Se a = u1 + v1 e b = u2 + v2 estão em U + V , então:
a + b = (u1 + v1) + (u2 + v2) = (u1 + u2) + (v1 + v2)
Como U e V são fechados para adição, u1 + u2 in U e v1 + v2 in V , então a + b in U + V .
3. Fechamento para multiplicação por escalar: Se a = u + v está em U + V e c é um escalar, então:
ca = c(u + v) = cu + cv
Como U e V são fechados para multiplicação por escalar, cu in U e cv in V , portanto, ca in U + V .
Assim, U + V também satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de W .

Resposta

Tanto U cap V quanto U + V são subespaços vetoriais de W .

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