Sobre Subespaços Vetoriais
Se
e
são subespaços vetoriais do
. Mostre ou dê contra exemplo:
é um subespaço vetorial de
?
é subespaço vetorial de
?
Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre subespaços vetoriais! A gente tem dois subespaços,
e
, dentro de um outro espaço vetorial
. A pergunta é: será que a interseção
e a soma
também são subespaços de
? Para resolver isso, vamos lembrar o que define um subespaço vetorial e verificar se essas operações mantêm essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a interseção
. A interseção de dois conjuntos é o conjunto de elementos que estão em ambos os conjuntos. No caso dos subespaços, queremos ver se os elementos que estão tanto em
quanto em
formam um subespaço de
.
Passo 3
Para ser um subespaço vetorial, um conjunto precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado para adição: se você pegar dois vetores no conjunto, a soma deles também está no conjunto.
- É fechado para multiplicação por escalar: se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número, o resultado também está no conjunto.
Passo 4
Vamos verificar essas condições para
:
- Vetor zero: Como
e são subespaços, ambos contêm o vetor zero. Logo, também contém o vetor zero. - Fechamento para adição: Se
e estão em , então e estão em ambos e . Como e são fechados para adição, está em e em , portanto, está em . - Fechamento para multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então está em e em , logo, está em .
Assim,
cumpre todas as condições para ser um subespaço vetorial de
.
Passo 5
Agora vamos falar sobre a soma
. A soma de dois subespaços é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
, ou seja:
Queremos ver se
também é um subespaço de
.
Passo 6
Vamos verificar as três condições para
:
- Vetor zero: Se pegarmos
em e em , então . Logo, . - Fechamento para adição: Se
e estão em , então:
Como
e
são fechados para adição,
e
, então
.
3. Fechamento para multiplicação por escalar: Se está em
e
é um escalar, então:
3. Fechamento para multiplicação por escalar: Se
Como
e
são fechados para multiplicação por escalar,
e
, portanto,
.
Assim,
também satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de
.
Resposta
Tanto
quanto
são subespaços vetoriais de
.