Seja
, onde
e
são números reais não nulos. Determine todos os valores que
pode assumir.
Passo 1
O enunciado define
onde
são reais não nulos, e pede o conjunto de todos os valores que
pode assumir. O conteúdo principal é estudar como o sinal de cada termo afeta a soma e usar intervalos de variação de funções contínuas para cobrir todo o eixo real.
Passo 2
Definimos
ou seja
, e
com
. Note que
e
. Logo
Passo 3
Analisamos primeiro o caso
.
- Se
, então
Como
implica
e
implica
, a função é contínua e estritamente crescente em cada variável, cobrindo todo o intervalo
.
- Se exatamente dois dos sinais são
(por exemplo ), então
Para cada par fixo
, esta é uma função linear crescente em
, com
Como
pode ser qualquer número positivo, a união desses intervalos
para todos
cobre todo
.
Passo 4
Agora o caso
.
- Se exatamente um sinal é
(por exemplo ), então
que para cada
é linear decrescente em
, com
Variação de
em
faz a união dos intervalos
também igual a
.
- Se
, então
que varia continuamente de
(quando
) até
, isto é o intervalo
.
Passo 5
Juntando todos os padrões de sinais, vemos que em algumas configurações já obtemos
. Portanto, o conjunto de valores possíveis de
é todo o conjunto dos números reais.