Seja S=a|a|+b|b|+c|c|+a b c|a b c|, onde a, b e c são números reais não nulos. Determine todos os valores que S pode assumir.

Passo 1

O enunciado define
S = a|a| + b|b| + c|c| + abc\,|abc|,
onde a,b,c são reais não nulos, e pede o conjunto de todos os valores que S pode assumir. O conteúdo principal é estudar como o sinal de cada termo afeta a soma e usar intervalos de variação de funções contínuas para cobrir todo o eixo real.

Passo 2

Definimos
x = \operatorname{sign}(a),\quad y=\operatorname{sign}(b),\quad z = \operatorname{sign}\text{(c)},
ou seja x,y,z\in\{+1,-1\}, e
A = a^2,\quad B=b^2,\quad C=c^2,
com A,B,C>0. Note que |abc| = ABC e \operatorname{sign}(abc)=xyz. Logo
S = xA + yB + zC + (xyz)\,ABC.

Passo 3

Analisamos primeiro o caso xyz=+1.
  1. Se x=y=z=+1, então
S = A + B + C + ABC.
Como A,B,C\to0^+ implica S\to0^+ e A,B,C\to+\infty implica S\to+\infty, a função é contínua e estritamente crescente em cada variável, cobrindo todo o intervalo (0,+\infty).
  1. Se exatamente dois dos sinais são -1 (por exemplo x=y=-1,\,z=+1), então
S = -A -B + C + ABC = C\,(1+AB) - (A+B).
Para cada par fixo (A,B), esta é uma função linear crescente em C, com
\lim_{C\to0^+}S = -(A+B),\quad \lim_{C\to+\infty}S = +\infty.
Como A+B pode ser qualquer número positivo, a união desses intervalos \bigl(-(A+B),+\infty\bigr) para todos A,B>0 cobre todo \mathbb{R}.

Passo 4

Agora o caso xyz=-1.
  1. Se exatamente um sinal é -1 (por exemplo x=y=+1,\,z=-1), então
S = A + B - C - ABC = -(C\,(1+AB) - (A+B)),
que para cada (A,B) é linear decrescente em C, com
\lim_{C\to0^+}S = A+B,\quad \lim_{C\to+\infty}S = -\infty.
Variação de A+B em (0,+\infty) faz a união dos intervalos (-\infty,\,A+B) também igual a \mathbb{R}.
  1. Se x=y=z=-1, então
S = -A -B -C -ABC = -\bigl(A+B+C+ABC\bigr),
que varia continuamente de 0^- (quando A,B,C\to0^+) até -\infty, isto é o intervalo (-\infty,0).

Passo 5

Juntando todos os padrões de sinais, vemos que em algumas configurações já obtemos (-\infty,+\infty). Portanto, o conjunto de valores possíveis de S é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

\mathbb{R}

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