Sendo y=y(x), encontre a solução geral das EDOs em torno do ponto singular regular x=0 em cada item abaixo:
$x y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x\,y'' - x\,y' + y = 0
em torno do ponto singular regular x=0. Vamos usar o método de Frobenius para obter a primeira solução e, depois, redução de ordem para achar a segunda.

Passo 2

Escrevemos a equação em forma padrão
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0
onde
p(x) = -1,\quad q(x) = \frac{1}{x}.
No método de Frobenius supomos
y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^{n+r}.

Passo 3

Substituindo no lado esquerdo e coletando o menor expoente x^{r-1} surge a equação indicial
r(r-1)=0,
cuja soluções são
r_1=1,\quad r_2=0.

Passo 4

Para r_1=1, a relação de recorrência é
a_{m+1} \;=\; a_m\,\frac{m}{(m+1)(m+2)}.
Dessa forma a_1=0 e segue que a_m=0 para todo m\ge1. Logo a primeira solução é
y_1 = a_0\,x^{1} = C_1\,x.

Passo 5

Como r_1-r_2=1 é inteiro, a segunda solução não aparece como série pura. Aplicamos redução de ordem com y_1=x. A fórmula diz
y_2 = y_1 \int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_1^2}\,dx = x \int \frac{e^{\int1\,dx}}{x^2}\,dx = x \int \frac{e^x}{x^2}\,dx.

Passo 6

Reconhecemos a integral em termos da função integral exponencial \mathrm{Ei}(x). Uma primitiva é
\int \frac{e^x}{x^2}\,dx = -\frac{e^x}{x} + \mathrm{Ei}(x),
portanto
y_2 = x\Bigl(-\frac{e^x}{x} + \mathrm{Ei}(x)\Bigr) = -e^x + x\,\mathrm{Ei}(x).

Resposta

y = C_1\,x + C_2\bigl(-e^x + x\,\mathrm{Ei}(x)\bigr).

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