Sendo
, encontre a solução geral das EDOs em torno do ponto singular regular
em cada item abaixo:
$x y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0
$x y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
em torno do ponto singular regular
. Vamos usar o método de Frobenius para obter a primeira solução e, depois, redução de ordem para achar a segunda.
Passo 2
Escrevemos a equação em forma padrão
onde
No método de Frobenius supomos
Passo 3
Substituindo no lado esquerdo e coletando o menor expoente
surge a equação indicial
cuja soluções são
Passo 4
Para
, a relação de recorrência é
Dessa forma
e segue que
para todo
. Logo a primeira solução é
Passo 5
Como
é inteiro, a segunda solução não aparece como série pura. Aplicamos redução de ordem com
. A fórmula diz
Passo 6
Reconhecemos a integral em termos da função integral exponencial
. Uma primitiva é
portanto