Em um triângulo
, sejam
e
os pontos médios dos lados
e
, respectivamente. O triângulo
é chamado triângulo medial de
.
a) Mostre que os triângulos
e
são semelhantes.
b) Sejam
e
as áreas dos triângulos
e
, respectivamente. Determine
em função de
a) Mostre que os triângulos
b) Sejam
Passo 1
O enunciado trata do triângulo medial
de
, em que
,
e
são os pontos médios de
,
e
, respectivamente. Queremos mostrar:
Para isso vamos usar o Teorema do Ponto-Médio (ou Teorema da Paralela ao Lado) e a propriedade de que, em triângulos semelhantes, as áreas estão na razão do quadrado da razão de semelhança.
Passo 2
No triângulo
:
-
é ponto médio de e é ponto médio de .
Pelo Teorema do Ponto-Médio, o segmentoé paralelo a e -
é ponto médio de e é ponto médio de .
Entãoe -
é ponto médio de e é ponto médio de .
Entãoe
Passo 3
Como em
cada lado é paralelo ao lado correspondente de
, temos todos os ângulos correspondentes iguais. Além disso,
Logo,
e
são semelhantes com razão de semelhança
Passo 4
Sendo
e
as áreas de
e
, e sabendo que em triângulos semelhantes a razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança, segue
Portanto,