Em um triângulo A B C, sejam M, N e P os pontos médios dos lados B C, A C e A B, respectivamente. O triângulo M N P é chamado triângulo medial de A B C.
a) Mostre que os triângulos A B C e M N P são semelhantes.
b) Sejam m e n as áreas dos triângulos A B C e M N P, respectivamente. Determine n em função de m

Passo 1

O enunciado trata do triângulo medial MNP de ABC, em que M, N e P são os pontos médios de BC, AC e AB, respectivamente. Queremos mostrar:
1. Que \triangle ABC e \triangle MNP são semelhantes.
2. Sejam m e n as áreas de \triangle ABC e \triangle MNP. Determinar n em função de m.
Para isso vamos usar o Teorema do Ponto-Médio (ou Teorema da Paralela ao Lado) e a propriedade de que, em triângulos semelhantes, as áreas estão na razão do quadrado da razão de semelhança.

Passo 2

No triângulo ABC:
  • M é ponto médio de BC e N é ponto médio de AC.
    Pelo Teorema do Ponto-Médio, o segmento MN é paralelo a AB e
    MN = \tfrac12\,AB.
  • N é ponto médio de AC e P é ponto médio de AB.
    Então NP \parallel BC e
    NP = \tfrac12\,BC.
  • P é ponto médio de AB e M é ponto médio de BC.
    Então PM \parallel AC e
    PM = \tfrac12\,AC.

Passo 3

Como em \triangle MNP cada lado é paralelo ao lado correspondente de \triangle ABC, temos todos os ângulos correspondentes iguais. Além disso,
\frac{MN}{AB} \;=\;\frac{NP}{BC}\;=\;\frac{PM}{AC}\;=\;\tfrac12.
Logo, \triangle MNP e \triangle ABC são semelhantes com razão de semelhança
k = \tfrac12.

Passo 4

Sendo m e n as áreas de \triangle ABC e \triangle MNP, e sabendo que em triângulos semelhantes a razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança, segue
\frac{n}{m} \;=\;k^2 \;=\;\bigl(\tfrac12\bigr)^2 \;=\;\tfrac14.
Portanto,
n = \frac{m}{4}.

Resposta

n = \dfrac{m}{4}

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