Questão 5. (Problema contextualizado - 2,0 pontos)

Um engenheiro de produção precisa otimizar a utilização de materiais em um projeto de tampas retangulares. O custo de produção é dado por:
C(x, y)=3 x+4 y
sendo que o projeto deve obedecer a restrição:
x^{2}+y^{2}=25
Use multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões x e y que minimizam o custo e calcule o valor mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para minimizar o custo de produção
C(x,y)=3x+4y
sujeito à restrição
x^{2}+y^{2}=25.
O conteúdo aqui é otimização com multiplicadores de Lagrange, então vamos construir a função de Lagrange e igualar as derivadas parciais a zero.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=3x+4y-\lambda\bigl(x^{2}+y^{2}-25\bigr).
Nesse caso \lambda é o multiplicador que incorpora a restrição x^{2}+y^{2}=25.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=3-2\lambda x=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=4-2\lambda y=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x^{2}+y^{2}-25)=0.

Passo 4

Das duas primeiras equações obtemos
3=2\lambda x\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{3}{2x},
4=2\lambda y\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2}{y}.
Igualando os dois valores de \lambda
\frac{3}{2x}=\frac{2}{y}\quad\Rightarrow\quad 3y=4x\quad\Rightarrow\quad y=\frac{4}{3}x.

Passo 5

Substituímos y=\tfrac{4}{3}x na restrição x^{2}+y^{2}=25:
x^{2}+\Bigl(\frac{4}{3}x\Bigr)^{2}=25 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+\frac{16}{9}x^{2}=25 \quad\Rightarrow\quad \frac{25}{9}x^{2}=25 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=9.
Como queremos dimensões positivas, x=3 e então
y=\frac{4}{3}\cdot 3=4.

Passo 6

Calculamos o custo mínimo usando os valores encontrados:
C_{\min}=3\cdot 3 + 4\cdot 4 = 9 + 16 = 25.

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são x=3 e y=4, e o custo mínimo é C_{\min}=25.

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