Questão 5. (Problema contextualizado - 2,0 pontos)
Um engenheiro de produção precisa otimizar a utilização de materiais em um projeto de tampas retangulares. O custo de produção é dado por:
sendo que o projeto deve obedecer a restrição:
Use multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões x e y que minimizam o custo e calcule o valor mínimo.
Passo 1
O enunciado pede para minimizar o custo de produção
sujeito à restrição
O conteúdo aqui é otimização com multiplicadores de Lagrange, então vamos construir a função de Lagrange e igualar as derivadas parciais a zero.
Passo 2
Definimos a função de Lagrange
Nesse caso
é o multiplicador que incorpora a restrição
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 4
Das duas primeiras equações obtemos
Igualando os dois valores de
dá
Passo 5
Substituímos
na restrição
:
Como queremos dimensões positivas,
e então
Passo 6
Calculamos o custo mínimo usando os valores encontrados:
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são
e
, e o custo mínimo é
.