Seja S a área delimitada pelas curvas y=x^2-8^2 e y=8^2-x^2. Determine o valor de 3 S64.

Passo 1

O enunciado pede a área S delimitada pelas curvas y=x^2-8^2 e y=8^2-x^2 e depois calcular tfrac3S64. O conteúdo é cálculo de área entre duas curvas e vamos precisar achar os pontos de intersecção e integrar a diferença entre a curva de cima e a de baixo.

Passo 2

Para encontrar onde as curvas se cruzam, igualamos x^2-64 a 64-x^2:
x^2 - 64 = 64 - x^2
Somando x^2 dos dois lados e somando 64, temos:
2x^2 = 128 implies x^2 = 64 implies x = pm 8
Então as curvas se interceptam em x=-8 e x=8.

Passo 3

A área entre as curvas é dada por
S = integral-8^8 l[(64 - x^2) - (x^2 - 64)r] ,dx = integral-8^8 (128 - 2x^2) ,dx
pois a função y=64-x^2 está acima de y=x^2-64 no intervalo.

Passo 4

Agora integramos:
integral (128 - 2x^2) ,dx = 128x - 2x^33
Avaliado de -8 a 8:
S = l[128x - tfrac2x^33r]-8^8 = l(128cdot8 - tfrac2cdot8^33r) - l(128cdot(-8) - tfrac2cdot(-8)^33r) = 40963

Passo 5

Por fim, calculamos
3S64 = 3cdot(4096/3)64 = 409664 = 64

Resposta

64

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