Seja S o cilindro x^{2}+y^{2}=1, com 0 \leq z \leq 2, orientado para fora. Calcule
\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S
onde \vec{F}(x, y, z)=(x, y, 0). Resposta: 4 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=(x,y,0) através do cilindro S\colon x^2+y^2=1, 0\le z\le2, orientado para fora. O conteúdo envolve integral de superfície e parametrização de superfícies.

Passo 2

Parametrizamos S por
\mathbf{r}(\theta,z)=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;z),
com \theta\in[0,2\pi] e z\in[0,2]. Calculamos \mathbf{r}_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta,0) e \mathbf{r}_z=(0,0,1).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z =(\cos\theta,\;\sin\theta,\;0),
que já aponta para fora e tem norma 1, de modo que \mathbf{n}\,dS=(\cos\theta,\sin\theta,0)\,d\theta\,dz.

Passo 3

Em \mathbf{r}(\theta,z), o campo vale
\vec{F}(\mathbf{r}(\theta,z)) =(\cos\theta,\sin\theta,0).
Então o produto escalar com \mathbf{n} é
\vec{F}\cdot\mathbf{n} =(\cos\theta,\sin\theta,0)\cdot(\cos\theta,\sin\theta,0) =\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.
Logo a integral de fluxo fica
\iint_{S}\vec{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}1\,dz\,d\theta.

Passo 4

Calculando a integral iterada:
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}1\,dz\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\Bigl[z\Bigr]_{0}^{2}\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}2\,d\theta =2\cdot(2\pi) =4\pi.

Resposta

4\pi

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