1. Em R^2 times 2, sejam
&E11=(ll 1 & 0 0 & 0 ) E12=(ll 0 & 1 0 & 0 ) &E21=(ll 0 & 0 1 & 0 ) E22=(ll 0 & 0 0 & 1 )
Mostre que E11, E12, E21, E22 geram R^2 times 2.

Passo 1

O enunciado pede para provar que os quatro matrizes
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1
formam um sistema gerador de R^2times2. Lembrando que um conjunto de vetores (aqui matrizes) gera um espaço vetorial se qualquer elemento desse espaço puder ser escrito como combinação linear deles.

Passo 2

Seja arbitrária a matriz
Considere a combinação linear
Calculando cada termo, obtemos
Isso mostra que toda matriz em é combinação linear de .

Resposta

Os matrizes E11,E12,E21,E22 geram R^2times2, pois qualquer elemento desse espaço pode ser escrito como combinação linear deles.

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