Seja s=j^105+j^23+j^20-j^34-j. Calcule |s| e arg (s).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número complexo s = j^105 + j^23 + j^20 - j^34 - j e, em seguida, encontrar o módulo |s| e o argumento arg(s). Vamos usar propriedades de potências de j.

Passo 2

Sabendo que o número imaginário j satisfaz j^4 = 1, suas potências se repetem a cada 4: j^0 = 1, j^1 = j, j^2 = -1 e j^3 = -j. Assim, para qualquer expoente n, basta reduzir n módulo 4.

Passo 3

Reduzindo cada expoente módulo 4: 105 equiv 1 pmod4 j^105 = j; 23 equiv 3 pmod4 j^23 = -j; 20 equiv 0 pmod4 j^20 = 1; 34 equiv 2 pmod4 j^34 = -1. Logo,

Passo 4

s = j - j + 1 - (-1) - j = 2 - j

Resposta

|s| = raiz5, arg(s) = -arctanl(tfrac12r)

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