Considere o espac,o P_{2}(\mathrm{R}) com o produto interno \quad\langle f(t), g(t)\rangle=\int_{o}^{1} f(t) g(t) d t
Dados f(t)=t+2, g(t)=3 t-2 e h(t)=t^{2} determine \langle f, g\rangle,\langle f, h\rangle,\|g\|,\|h\|, os normalizados de g e de h, d(f, g), d(f, h).

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R}) com produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1}f(t)\,g(t)\,dt
e pede:
\langle f,g\rangle e \langle f,h\rangle
\|g\| e \|h\|
– os vetores normalizados de g e de h
– as distâncias d(f,g) e d(f,h).
Para isso, vamos usar propriedades básicas de integração de polinômios e definições de norma e distância em espaços com produto interno.

Passo 2

Calcular os produtos internos:
Para \langle f,g\rangle, com f(t)=t+2 e g(t)=3t-2, temos
\langle f,g\rangle =\int_{0}^{1}(t+2)(3t-2)\,dt =\int_{0}^{1}(3t^{2}+4t-4)\,dt =\Bigl[t^{3}+2t^{2}-4t\Bigr]_{0}^{1} =1+2-4=-1.
Para \langle f,h\rangle, com h(t)=t^{2},
\langle f,h\rangle =\int_{0}^{1}(t+2)\,t^{2}\,dt =\int_{0}^{1}(t^{3}+2t^{2})\,dt =\Bigl[\tfrac{t^{4}}{4}+\tfrac{2t^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{4}+\tfrac{2}{3} =\tfrac{3+8}{12} =\tfrac{11}{12}.

Passo 3

Calcular as normas \|g\| e \|h\|: \displaystyle \|g\|=\sqrt{\langle g,g\rangle} =\sqrt{\int_{0}^{1}(3t-2)^{2}\,dt} =\sqrt{\int_{0}^{1}(9t^{2}-12t+4)\,dt} =\sqrt{\bigl[3t^{3}-6t^{2}+4t\bigr]_{0}^{1}} =\sqrt{3-6+4} =\sqrt{1} =1. \displaystyle \|h\|=\sqrt{\langle h,h\rangle} =\sqrt{\int_{0}^{1}t^{4}\,dt} =\sqrt{\bigl[\tfrac{t^{5}}{5}\bigr]_{0}^{1}} =\sqrt{\tfrac{1}{5}} =\tfrac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 4

Determinar os vetores normalizados e_{g} e e_{h}:
Por definição e_{g}=\dfrac{g}{\|g\|}. Como \|g\|=1,
e_{g}(t)=3t-2.
E
e_{h}(t)=\frac{h(t)}{\|h\|} = t^{2}\,\sqrt{5}.

Passo 5

Calcular as distâncias d(f,g) e d(f,h): \displaystyle d(f,g)=\|f-g\| =\sqrt{\int_{0}^{1}\bigl[(t+2)-(3t-2)\bigr]^{2}dt} =\sqrt{\int_{0}^{1}(-2t+4)^{2}dt} =\sqrt{\int_{0}^{1}(4t^{2}-16t+16)dt} =\sqrt{\bigl[\tfrac{4t^{3}}{3}-8t^{2}+16t\bigr]_{0}^{1}} =\sqrt{\tfrac{4}{3}-8+16} =\sqrt{\tfrac{28}{3}} =2\sqrt{\tfrac{7}{3}}. \displaystyle d(f,h)=\|f-h\| =\sqrt{\int_{0}^{1}\bigl[(t+2)-t^{2}\bigr]^{2}dt} =\sqrt{\int_{0}^{1}(t^{4}-2t^{3}-3t^{2}+4t+4)dt} =\sqrt{\Bigl[\tfrac{t^{5}}{5}-\tfrac{t^{4}}{2}-t^{3}+2t^{2}+4t\Bigr]_{0}^{1}} =\sqrt{\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{2}-1+2+4} =\sqrt{\tfrac{47}{10}}.

Resposta

\langle f,g\rangle=-1 \langle f,h\rangle=\tfrac{11}{12} \|g\|=1 \|h\|=\tfrac{1}{\sqrt{5}}
Normalizados: e_{g}(t)=3t-2 e_{h}(t)=t^{2}\sqrt{5}
Distâncias: d(f,g)=2\sqrt{\tfrac{7}{3}} d(f,h)=\sqrt{\tfrac{47}{10}}

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