Seja S sólido de revolução obtido pela rotação da região delimitada pela parábola y=x^2 e pela reta y=x em torno do eixo y.
Determine a altura e o raio da casca cilíndrica.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A gente precisa trabalhar com um sólido de revolução, que é basicamente uma forma obtida ao girar uma área em torno de um eixo. No nosso caso, a região está limitada pela parábola e pela reta , e vamos girar essa região ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que nos ajuda a encontrar volumes e outras características de sólidos de revolução. Precisamos determinar a altura e o raio da casca cilíndrica nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas que delimitam a região. A parábola x^2 = x e a reta x^2 - x = 0 x(x - 1) = 0 x = 0 ou x = 1 se interceptam em alguns pontos. Para encontrar esses pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação, temos:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é uma casca cilíndrica no método das cascas. Quando giramos a região em torno do eixo , cada pequeno pedaço da região se torna uma casca cilíndrica. A casca tem três componentes principais:
  • Raio ( ): a distância do eixo de rotação ao elemento da casca. Como estamos girando em torno do eixo , o raio será a coordenada .
  • Altura ( ): a diferença entre as funções que delimitam a região, ou seja, a diferença entre e .
  • Espessura ( ): um pequeno incremento em .

Passo 4

Vamos formalizar isso matematicamente. A altura da casca cilíndrica é:
h(x) = ysuperior - yinferior = x - x^2
E o raio da casca é simplesmente a coordenada r(x) = x :
Essas expressões nos dão as medidas fundamentais para cada casca na construção do sólido de revolução.

Resposta

A altura da casca cilíndrica é e o raio é .

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