Seja
sólido de revolução obtido pela rotação da região delimitada pela parábola
e pela reta
em torno do eixo
.
Determine a altura e o raio da casca cilíndrica.
Determine a altura e o raio da casca cilíndrica.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A gente precisa trabalhar com um sólido de revolução, que é basicamente uma forma obtida ao girar uma área em torno de um eixo. No nosso caso, a região está limitada pela parábola
e pela reta
, e vamos girar essa região ao redor do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que nos ajuda a encontrar volumes e outras características de sólidos de revolução. Precisamos determinar a altura e o raio da casca cilíndrica nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas que delimitam a região. A parábola
e a reta
se interceptam em alguns pontos. Para encontrar esses pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação, temos:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é uma casca cilíndrica no método das cascas. Quando giramos a região em torno do eixo
, cada pequeno pedaço da região se torna uma casca cilíndrica. A casca tem três componentes principais:
- Raio (
): a distância do eixo de rotação ao elemento da casca. Como estamos girando em torno do eixo , o raio será a coordenada . - Altura (
): a diferença entre as funções que delimitam a região, ou seja, a diferença entre e . - Espessura (
): um pequeno incremento em .
Passo 4
Vamos formalizar isso matematicamente. A altura da casca cilíndrica é:
E o raio da casca é simplesmente a coordenada
:
Essas expressões nos dão as medidas fundamentais para cada casca na construção do sólido de revolução.
Resposta
A altura da casca cilíndrica é
e o raio é
.