Resolva apenas duas das integrais abaixo.
integral sen^3 x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo potências de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a resolução. Sabemos que integral sin^3 x cos^2 x , dx = integral sin^2 x cdot sin x cos^2 x , dx pode ser escrita como . Então, temos:

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica integral (1 - cos^2 x) cdot sin x cos^2 x , dx para substituir :

Passo 4

Distribuímos integral sin x cos^2 x , dx - integral sin x cos^4 x , dx dentro do parêntese:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando com a primeira:
integral sin x cos^2 x , dx
Aqui, podemos usar substituição. Seja - integral u^2 , du = -u^33 + C = -cos^3 x3 + C , então . Reescrevendo a integral:

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral sin x cos^4 x , dx
Usando a mesma substituição - integral u^4 , du = -u^55 + C = -cos^5 x5 + C , :

Passo 7

Agora, juntamos as duas partes:
- cos^3 x3 - ( -cos^5 x5 ) + C = - cos^3 x3 + cos^5 x5 + C

Resposta

A integral - cos^3 x3 + cos^5 x5 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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