Seja
a superfície dada por
com
. Para o campo vetorial
, determine o fluxo de
através de
:
usando o teorema de Stokes;
usando o teorema de Stokes;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar o fluxo do rotacional de um campo vetorial $ F $ através de uma superfície $ S $. A superfície $ S $ é dada por $ x^{2} + y^{2} + (z-2)^{2} = 4 $ com $ z \leq 1 $, ou seja, é a parte inferior de uma esfera com raio 2 e centro no ponto $ (0, 0, 2) $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de $ F $ com uma integral de linha sobre a borda da superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar qual é a curva que forma a borda da superfície $ S $. Como $ S $ é a parte da esfera onde $ z \leq 1 $, a borda $ C $ é o círculo onde $ z = 1 $. Vamos encontrar a equação desse círculo.
A equação da esfera é:
Quando $ z = 1 $:
Então, a curva $ C $ é um círculo no plano $ z = 1 $ com raio $ \sqrt{3} $.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar essa curva $ C $. Como é um círculo, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Passo 4
Com a parametrização em mãos, precisamos expressar o campo vetorial $ F $ ao longo da curva $ C $. O campo é dado por:
Substituindo $ x $, $ y $ e $ z $ da parametrização:
Passo 5
Agora, vamos calcular o diferencial de $ \mathbf{r} $, que é a derivada da parametrização em relação a $ \theta $:
O Teorema de Stokes nos diz que:
Então, precisamos calcular o produto escalar $ F \cdot d\mathbf{r} $ e integrar de $ \theta = 0 $ a $ \theta = 2\pi $:
Integrando de $ 0 $ a $ 2\pi $:
Observando que a integral de $ \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta $ é bem conhecida:
e a integral com o termo exponencial, por propriedades de integrais de funções periódicas com simetria, resulta em zero.
Resposta
Após calcular todas as integrais, chegamos que o fluxo de $ \operatorname{rot}(F) $ através de $ S $ é igual a $ 3\pi $.