Se w=\sqrt{x}+y^{2} / z, onde x=e^{2 t}, y=t^{3}+4 t, \mathrm{e} z=t^{2}-4, utilize a Regra da Cadeia para determinar d w / d t.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes definições e pede a derivada de w em relação a t:
  • w=\sqrt{x}+\dfrac{y^{2}}{z}.
  • x=e^{2t}.
  • y=t^{3}+4t.
  • z=t^{2}-4.
O que é pedido: calcular \dfrac{dw}{dt}.
Informações úteis que vamos usar (sem ainda resolver): expressões de x(t),y(t),z(t) e que w é função composta dessas. Vou aplicar a Regra da Cadeia e regras básicas de derivação (derivada de potência, exponencial e a regra do quociente).

Passo 2

A Regra da Cadeia, em palavras, diz: se uma função f depende de uma variável intermédia u que por sua vez depende de t, isto é f=f(u) e u=u(t), então
\frac{d}{dt}f(u(t))=f'(u(t))\cdot u'(t).
Também vou usar a Regra do Quociente: se h(t)=\dfrac{p(t)}{q(t)}, então
h'(t)=\frac{p'(t)q(t)-p(t)q'(t)}{[q(t)]^{2}}.
E o fato de que a derivada de u^{2} é 2u\cdot u'.

Passo 3

Derivo cada parte de w separadamente. Primeiro a parte \sqrt{x} = x^{1/2}.
Aplicando a Regra da Cadeia:
\frac{d}{dt}\sqrt{x(t)}=\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)\Big|_{x=x(t)}\cdot x'(t) =\frac{1}{2}x(t)^{-1/2}\cdot x'(t).
Agora calculo x'(t). Como x(t)=e^{2t},
x'(t)=\frac{d}{dt}e^{2t}=2e^{2t}.
Substituindo:
\frac{d}{dt}\sqrt{x(t)}=\frac{1}{2}\bigl(e^{2t}\bigr)^{-1/2}\cdot 2e^{2t} =\frac{2e^{2t}}{2\sqrt{e^{2t}}} =\frac{e^{2t}}{\sqrt{e^{2t}}}.
Note que \sqrt{e^{2t}}=e^{t} (raiz positiva), logo essa parcela simplifica para
\frac{d}{dt}\sqrt{x(t)}=e^{t}.

Passo 4

Agora a segunda parcela de w: \dfrac{y^{2}}{z}. Vou aplicar a Regra do Quociente com p(t)=y(t)^{2} e q(t)=z(t).
Primeiro obtenho as derivadas intermediárias:
y(t)=t^{3}+4t \quad\Rightarrow\quad y'(t)=3t^{2}+4,
z(t)=t^{2}-4 \quad\Rightarrow\quad z'(t)=2t.
Derivada de p(t)=y(t)^{2} é
p'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(y^{2}\bigr)=2y\cdot y'(t)=2y(3t^{2}+4).
Agora aplico a Regra do Quociente:
\frac{d}{dt}\left(\frac{y^{2}}{z}\right) =\frac{p'(t)z(t)-p(t)z'(t)}{[z(t)]^{2}} =\frac{2y(3t^{2}+4)\,z - y^{2}\, (2t)}{z^{2}}.

Passo 5

Substituo explicitamente y(t) e z(t) nas expressões para obter a derivada em termos de t.
Lembrando y=t^{3}+4t e z=t^{2}-4, temos
\frac{d}{dt}\left(\frac{y^{2}}{z}\right) =\frac{2\bigl(t^{3}+4t\bigr)\bigl(3t^{2}+4\bigr)\bigl(t^{2}-4\bigr)-\bigl(t^{3}+4t\bigr)^{2}\cdot 2t}{\bigl(t^{2}-4\bigr)^{2}}.
Se quiser, pode fatorar \,t^{3}+4t=t(t^{2}+4), mas não é necessário para a prova — ambas as formas são válidas.

Passo 6

Agora somo as duas parcelas já derivadas para obter \dfrac{dw}{dt}. A derivada de w é:
\frac{dw}{dt} =\frac{d}{dt}\sqrt{x(t)}+\frac{d}{dt}\left(\frac{y^{2}}{z}\right) = e^{t} + \frac{2\bigl(t^{3}+4t\bigr)\bigl(3t^{2}+4\bigr)\bigl(t^{2}-4\bigr)-2t\bigl(t^{3}+4t\bigr)^{2}}{\bigl(t^{2}-4\bigr)^{2}}.
Essa é a expressão final. Se preferir, pode retirar um fator comum 2\bigl(t^{3}+4t\bigr) no numerador para ficar mais compacto.

Resposta

\frac{dw}{dt}=e^{t}+\frac{2\bigl(t^{3}+4t\bigr)\bigl(3t^{2}+4\bigr)\bigl(t^{2}-4\bigr)-2t\bigl(t^{3}+4t\bigr)^{2}}{\bigl(t^{2}-4\bigr)^{2}}.

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