Se w=\sqrt{x}+y^{2} / z, onde x=e^{2 t}, y=t^{3}+4 t, \mathrm{e} z=t^{2}-4, utilize a Regra da Cadeia para determinar d w / d t.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes definições e pede a derivada de w em relação a t:
w=\sqrt{x}+\dfrac{y^{2}}{z}.
x=e^{2t}.
y=t^{3}+4t.
z=t^{2}-4.
O que é pedido: calcular \dfrac{dw}{dt}.
Informações úteis que vamos usar (sem ainda resolver): expressões de x(t),y(t),z(t) e que w é função composta dessas. Vou aplicar a Regra da Cadeia e regras básicas de derivação (derivada de potência, exponencial e a regra do quociente).
Passo 2
A Regra da Cadeia, em palavras, diz: se uma função f depende de uma variável intermédia u que por sua vez depende de t, isto é f=f(u) e u=u(t), então
\frac{d}{dt}f(u(t))=f'(u(t))\cdot u'(t).
Também vou usar a Regra do Quociente: se h(t)=\dfrac{p(t)}{q(t)}, então
h'(t)=\frac{p'(t)q(t)-p(t)q'(t)}{[q(t)]^{2}}.
E o fato de que a derivada de u^{2} é 2u\cdot u'.
Passo 3
Derivo cada parte de w separadamente. Primeiro a parte \sqrt{x} = x^{1/2}.