\varphi(u, v)=\left(u, v, 1-u^{2}\right), \quad \operatorname{com} 0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq u
Determine a área de S.
Passo 1
O enunciado dá uma parametrização de uma superfície S e pede a área de S. As informações fornecidas são:
A parametrização é \varphi(u,v)=\left(u,\;v,\;1-u^{2}\right).
O domínio dos parâmetros é 0\le u\le 1 e 0\le v\le u (ou seja, um triângulo no plano (u,v)).
A pergunta a ser respondida: determinar a área de S.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicação didática).
Para uma superfície parametrizada por \varphi(u,v) definida num domínio D no plano dos parâmetros, o elemento de área da superfície é dado por o comprimento do produto vetorial dos vetores tangentes às curvas de parâmetro, isto é o módulo de \varphi_u\times\varphi_v. Logo a área total é
\varphi_u é a derivada parcial de \varphi em relação a u (vetor tangente ao variar u com v fixo).
\varphi_v é a derivada parcial de \varphi em relação a v.
O produto vetorial \times entre dois vetores em \mathbb{R}^3 produz um vetor perpendicular a ambos; o módulo desse vetor dá a área do paralelogramo gerado pelos dois vetores, que é a área local sobre a superfície correspondente ao retângulo diferencial du\,dv.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais \varphi_u e \varphi_v.
A parametrização é \varphi(u,v)=\big(u,\;v,\;1-u^{2}\big). Derivando componente a componente:
Aqui cada componente foi diferenciada mantendo a outra variável fixa.
Passo 4
Calcular o produto vetorial \varphi_u\times\varphi_v passo a passo.
Usando a fórmula (a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3)=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1), com a=\varphi_u=(1,0,-2u) e b=\varphi_v=(0,1,0), temos:
Observação didática: aqui \sqrt{4u^{2}+1} não depende de v, então a integração interior em v é simples — é multiplicar por comprimento do intervalo em v, que é u-0=u.
Passo 7
Calcular a integral reduzida.
Primeiro fazer a integral em v:
\int_{v=0}^{u}\sqrt{4u^{2}+1}\,dv = \big(\sqrt{4u^{2}+1}\big)\cdot u.
Agora resolver essa integral por substituição. Faça a substituição t=4u^{2}+1. Então dt=8u\,du, isto é u\,du=\dfrac{dt}{8}. Quando u=0 tem t=1. Quando u=1 tem t=5. Substituindo: