Seja S uma superfície parametrizada por
\varphi(u, v)=\left(u, v, 1-u^{2}\right), \quad \operatorname{com} 0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq u
Determine a área de S.

Passo 1

O enunciado dá uma parametrização de uma superfície S e pede a área de S. As informações fornecidas são:
  • A parametrização é \varphi(u,v)=\left(u,\;v,\;1-u^{2}\right).
  • O domínio dos parâmetros é 0\le u\le 1 e 0\le v\le u (ou seja, um triângulo no plano (u,v)).
    A pergunta a ser respondida: determinar a área de S.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicação didática).
Para uma superfície parametrizada por \varphi(u,v) definida num domínio D no plano dos parâmetros, o elemento de área da superfície é dado por o comprimento do produto vetorial dos vetores tangentes às curvas de parâmetro, isto é o módulo de \varphi_u\times\varphi_v. Logo a área total é
\text{Área}(S)=\iint_{D}\big\|\varphi_u(u,v)\times\varphi_v(u,v)\big\|\,du\,dv.Á
Explicando as notações:
  • \varphi_u é a derivada parcial de \varphi em relação a u (vetor tangente ao variar u com v fixo).
  • \varphi_v é a derivada parcial de \varphi em relação a v.
  • O produto vetorial \times entre dois vetores em \mathbb{R}^3 produz um vetor perpendicular a ambos; o módulo desse vetor dá a área do paralelogramo gerado pelos dois vetores, que é a área local sobre a superfície correspondente ao retângulo diferencial du\,dv.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais \varphi_u e \varphi_v.
A parametrização é \varphi(u,v)=\big(u,\;v,\;1-u^{2}\big). Derivando componente a componente:
\varphi_u(u,v)=\left(\frac{\partial}{\partial u}u,\;\frac{\partial}{\partial u}v,\;\frac{\partial}{\partial u}(1-u^{2})\right) =\left(1,\;0,\;-2u\right).
\varphi_v(u,v)=\left(\frac{\partial}{\partial v}u,\;\frac{\partial}{\partial v}v,\;\frac{\partial}{\partial v}(1-u^{2})\right) =\left(0,\;1,\;0\right).
Aqui cada componente foi diferenciada mantendo a outra variável fixa.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \varphi_u\times\varphi_v passo a passo.
Usando a fórmula (a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3)=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1), com a=\varphi_u=(1,0,-2u) e b=\varphi_v=(0,1,0), temos:
\varphi_u\times\varphi_v=\big(0\cdot0-(-2u)\cdot1,\;(-2u)\cdot0-1\cdot0,\;1\cdot1-0\cdot0\big) =(2u,\;0,\;1).

Passo 5

Calcular o módulo \big\|\varphi_u\times\varphi_v\big\|.
O módulo de um vetor (x,y,z) é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Portanto
\big\|\varphi_u\times\varphi_v\big\|=\sqrt{(2u)^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{4u^{2}+1}.
Interpretação: em cada ponto (u,v) do domínio, a área elemental sobre a superfície é \sqrt{4u^{2}+1}\,du\,dv.

Passo 6

Montar a integral dupla sobre o domínio D=\{(u,v)\mid 0\le u\le 1,\;0\le v\le u\}.
Assim
\text{Área}(S)=\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{u}\sqrt{4u^{2}+1}\,dv\,du.Á
Observação didática: aqui \sqrt{4u^{2}+1} não depende de v, então a integração interior em v é simples — é multiplicar por comprimento do intervalo em v, que é u-0=u.

Passo 7

Calcular a integral reduzida.
Primeiro fazer a integral em v:
\int_{v=0}^{u}\sqrt{4u^{2}+1}\,dv = \big(\sqrt{4u^{2}+1}\big)\cdot u.
Então
\text{Área}(S)=\int_{0}^{1} u\,\sqrt{4u^{2}+1}\,du.Á
Agora resolver essa integral por substituição. Faça a substituição t=4u^{2}+1. Então dt=8u\,du, isto é u\,du=\dfrac{dt}{8}. Quando u=0 tem t=1. Quando u=1 tem t=5. Substituindo:
\int_{0}^{1} u\sqrt{4u^{2}+1}\,du=\int_{t=1}^{5}\sqrt{t}\,\frac{dt}{8}=\frac{1}{8}\int_{1}^{5} t^{1/2}\,dt.
Integrando t^{1/2}:
\frac{1}{8}\int_{1}^{5} t^{1/2}\,dt=\frac{1}{8}\cdot\left[\frac{t^{3/2}}{3/2}\right]_{1}^{5} =\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\big(5^{3/2}-1^{3/2}\big) =\frac{1}{12}\big(5^{3/2}-1\big).

Passo 8

Simplificar a expressão final.
Lembrando que 5^{3/2}=5\sqrt{5}, obtemos
\text{Área}(S)=\frac{5\sqrt{5}-1}{12}.Á

Resposta

\dfrac{5\sqrt{5}-1}{12}

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