Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar e parametrizar a superfície
Informações dadas:
- Há a equação do plano
. - Há uma restrição em
e : , que é o disco fechado de raio no plano -independente (cilindro vertical).
O que se pede: - Fazer um esboço mental/geométrico do conjunto
. - Fornecer uma parametrização de
e indicar claramente o domínio dos parâmetros.
Passo 2
Interpretação geométrica (como esboçar):
- A condição
descreve um cilindro vertical (eixo paralelo a ) de raio centrado na reta . - A equação
é um plano inclinado (normal ), que corta esse cilindro. - A interseção é a porção do plano localizada “sobre” o disco do cilindro; isto é, a região do plano que corresponde ao gráfico
com variando no disco unitário. - No esboço: desenhar o disco de raio
no plano (projecção no plano ) e depois desenhar o plano inclinado que passa por (quando tem ); a região pedida é exatamente a “fatia” plana acima desse disco projetado.
Passo 3
Parametrização por projeção na coordenada
:
- Uma forma natural é usar
como parâmetros e escrever a partir da equação do plano. - Definir o parâmetro
correspondendo a . A parametrização é
com domínio
- Explicação: cada ponto
do disco unitário no plano dá um único ponto do plano através de . Assim cobre exatamente .
Passo 4
Parametrização em coordenadas polares (muito útil e elegante):
- Usar parâmetros
e com
e definir
- Aqui
é a distância radial no plano e o ângulo; para cada no domínio acima obtemos um ponto de . Esta parametrização é exatamente a anterior escrita em polares.
Passo 5
Observações úteis para a prova (como verificar que a parametrização é boa e calcular áreas se precisar):
- Os vetores tangentes (no caso da parametrização polar) são
- O produto vetorial dá
logo o elemento de área da superfície é
. (Isto é um cheque rápido de consistência: o fator
vem do jacobiano polar e
aparece porque a superfície é um plano inclinado com normal paralelo a
.)
Passo 6
Resumo para o esboço e como lembrar na prova:
- Pense: começar pelo disco unitário no plano
(fácil de desenhar), depois levantar cada ponto verticalmente até o plano . O conjunto resultante é uma “fatia plana” sobre o disco. - Para a prova, use a parametrização rectangular
quando quiser explicitar domínio em e use a parametrização polar quando for conveniente integrar (porque simplifica o domínio).