Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y+z=2, x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar e parametrizar a superfície
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=2,\; x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Informações dadas:
  • Há a equação do plano \;x+y+z=2\;.
  • Há uma restrição em x e y: \;x^{2}+y^{2}\le 1\;, que é o disco fechado de raio 1 no plano z-independente (cilindro vertical).
    O que se pede:
  • Fazer um esboço mental/geométrico do conjunto S.
  • Fornecer uma parametrização de S e indicar claramente o domínio dos parâmetros.

Passo 2

Interpretação geométrica (como esboçar):
  • A condição \;x^{2}+y^{2}\le 1\; descreve um cilindro vertical (eixo paralelo a z) de raio 1 centrado na reta x=y=0.
  • A equação \;x+y+z=2\; é um plano inclinado (normal (1,1,1)), que corta esse cilindro.
  • A interseção é a porção do plano localizada “sobre” o disco do cilindro; isto é, a região do plano que corresponde ao gráfico z=2-x-y com (x,y) variando no disco unitário.
  • No esboço: desenhar o disco de raio 1 no plano z=0 (projecção no plano xy) e depois desenhar o plano inclinado que passa por (0,0,2) (quando x=y=0 tem z=2); a região pedida é exatamente a “fatia” plana acima desse disco projetado.

Passo 3

Parametrização por projeção na coordenada (x,y):
  • Uma forma natural é usar (x,y) como parâmetros e escrever z a partir da equação do plano.
  • Definir o parâmetro (u,v) correspondendo a (x,y). A parametrização é
\mathbf{r}(u,v) = \big(u,\;v,\;2-u-v\big),
com domínio
D=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \mid u^{2}+v^{2}\le 1\}.
  • Explicação: cada ponto (u,v) do disco unitário no plano xy dá um único ponto do plano x+y+z=2 através de z=2-u-v. Assim \mathbf{r} cobre exatamente S.

Passo 4

Parametrização em coordenadas polares (muito útil e elegante):
  • Usar parâmetros r e \theta com
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta<2\pi,
e definir
\Phi(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; 2-r(\cos\theta+\sin\theta)\big).
  • Aqui r é a distância radial no plano xy e \theta o ângulo; para cada (r,\theta) no domínio acima obtemos um ponto de S. Esta parametrização é exatamente a anterior escrita em polares.

Passo 5

Observações úteis para a prova (como verificar que a parametrização é boa e calcular áreas se precisar):
  • Os vetores tangentes (no caso da parametrização polar) são
\Phi_{r}=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;-(\cos\theta+\sin\theta)),
\Phi_{\theta}=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;r(\sin\theta-\cos\theta)).
  • O produto vetorial dá
\Phi_{r}\times\Phi_{\theta}=r\,(1,1,1),
logo o elemento de área da superfície é \|\Phi_{r}\times\Phi_{\theta}\|=r\sqrt{3}. (Isto é um cheque rápido de consistência: o fator r vem do jacobiano polar e \sqrt{3} aparece porque a superfície é um plano inclinado com normal paralelo a (1,1,1).)

Passo 6

Resumo para o esboço e como lembrar na prova:
  • Pense: começar pelo disco unitário no plano xy (fácil de desenhar), depois levantar cada ponto verticalmente até o plano z=2-x-y. O conjunto resultante é uma “fatia plana” sobre o disco.
  • Para a prova, use a parametrização rectangular \mathbf{r}(u,v) quando quiser explicitar domínio em (x,y) e use a parametrização polar \Phi(r,\theta) quando for conveniente integrar (porque simplifica o domínio).

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(u,v)=\big(u,\;v,\;2-u-v\big),\quad (u,v)\in D=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}.
\displaystyle \Phi(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;2-r(\cos\theta+\sin\theta)\big),\quad 0\le r\le 1,\;0\le\theta<2\pi.

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