Seja S=\{u, v, w\} um conjunto l.i. em V. Verifique se os conjuntos abaixo são l.i. ou l.d., justificando a resposta.
(b) S_{2}=\{u-v, v-w, w-u\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S=\{u,v,w\} que é linearmente independente (l.i.) e nos define o conjunto
S_{2}=\{\,u-v,\;v-w,\;w-u\,\}.
A pergunta é: o conjunto S_{2} é linearmente independente ou linearmente dependente? Listei as informações relevantes: u,v,w são l.i. e S_{2} contém três combinações lineares desses vetores. A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Primeiro, lembre do conceito que vamos usar (com calma, como se estivéssemos estudando juntos):
  • Definição: vetores x_{1},\dots,x_{n} são linearmente dependentes (l.d.) se existe uma combinação linear não trivial
\alpha_{1}x_{1}+\cdots+\alpha_{n}x_{n}=0
com pelo menos um coeficiente \alpha_{i}\neq 0. Caso contrário (se a única combinação que dá zero tem todos os coeficientes zero), são linearmente independentes (l.i.).
Método prático para este tipo de questão: suponha uma combinação linear genérica dos vetores do conjunto igual a zero, expanda e use a independência de u,v,w para obter equações para os coeficientes. Se surgir uma solução não trivial, o conjunto é l.d.; se a única solução for trivial, é l.i.

Passo 3

Aplicando o método, suponha que existam escalares a,b,c tais que
a(u-v)+b(v-w)+c(w-u)=0.
Agora vamos expandir essa combinação e agrupar os termos em u, v e w (faça passo a passo na prova para não errar):

Passo 4

Expandindo:
a(u-v)+b(v-w)+c(w-u)
= a u - a v + b v - b w + c w - c u.
Agora junte os coeficientes de u, v e w:
= (a - c)\,u + (-a + b)\,v + (-b + c)\,w.

Passo 5

Sabendo que \{u,v,w\}\) é l.i., a combinação acima igual a zero implica que cada coeficiente das componentes \(u,v,w\) deve ser zero. Assim obtemos o sistema de equações para \(a,b,c\): \[\begin{cases} a - c = 0,\\[4pt] - a + b = 0,\\[4pt] - b + c = 0. \end{cases}
Resolva-o passo a passo: da primeira equação a=c\]. Da segunda \(b=a. Da terceira c=b. Portanto todos são iguais:
a=b=c.]

Passo 6

A solução geral do sistema é (a,b,c)=(t,t,t) com t\in\mathbb{F} (onde \mathbb{F} é o corpo — reais ou complexos, por exemplo). Isso significa que existe solução não trivial: por exemplo, escolhendo t=1 obtemos
1\cdot(u-v)+1\cdot(v-w)+1\cdot(w-u)=0,
ou seja,
(u-v)+(v-w)+(w-u)=0.
Como achámos uma combinação não trivial que dá zero, o conjunto S_{2} é linearmente dependente.

Passo 7

Comentário adicional (útil na prova): a única relação linear entre os três vetores de S_{2} é a família de múltiplos de (1,1,1), logo o espaço das soluções tem dimensão 1. Assim, dos três vetores de S_{2} dois são linearmente independentes e o terceiro é combinação linear deles; portanto \operatorname{rank}(S_{2})=2. Isso também explica intuitivamente por que eles são dependentes — há exatamente uma relação linear entre eles.

Resposta

\;S_{2} é linearmente dependente.

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