Seja
um conjunto l.i. em
. Verifique se os conjuntos abaixo são l.i. ou l.d., justificando a resposta.
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
que é linearmente independente (l.i.) e nos define o conjunto
A pergunta é: o conjunto
é linearmente independente ou linearmente dependente? Listei as informações relevantes:
são l.i. e
contém três combinações lineares desses vetores. A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Primeiro, lembre do conceito que vamos usar (com calma, como se estivéssemos estudando juntos):
- Definição: vetores
são linearmente dependentes (l.d.) se existe uma combinação linear não trivial
com pelo menos um coeficiente
. Caso contrário (se a única combinação que dá zero tem todos os coeficientes zero), são linearmente independentes (l.i.).
Método prático para este tipo de questão: suponha uma combinação linear genérica dos vetores do conjunto igual a zero, expanda e use a independência de
para obter equações para os coeficientes. Se surgir uma solução não trivial, o conjunto é l.d.; se a única solução for trivial, é l.i.
Passo 3
Aplicando o método, suponha que existam escalares
tais que
Agora vamos expandir essa combinação e agrupar os termos em
,
e
(faça passo a passo na prova para não errar):
Passo 4
Expandindo:
Agora junte os coeficientes de
,
e
:
Passo 5
Sabendo que
Resolva-o passo a passo: da primeira equação
. Da terceira
. Portanto todos são iguais:
Passo 6
A solução geral do sistema é
com
(onde
é o corpo — reais ou complexos, por exemplo). Isso significa que existe solução não trivial: por exemplo, escolhendo
obtemos
ou seja,
Como achámos uma combinação não trivial que dá zero, o conjunto
é linearmente dependente.
Passo 7
Comentário adicional (útil na prova): a única relação linear entre os três vetores de
é a família de múltiplos de
, logo o espaço das soluções tem dimensão
. Assim, dos três vetores de
dois são linearmente independentes e o terceiro é combinação linear deles; portanto
. Isso também explica intuitivamente por que eles são dependentes — há exatamente uma relação linear entre eles.