Seja (X1, X2, ldots, Xn) uma amostra aleatória de uma variável normalmente distribuída com parâmetros mu e sigma^2.
Apresente o ln de L(mu ; sigma^2) e suas derivadas.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente pegar uma amostra independente
de uma Normal com média e variância ,
calcular o logaritmo da função de verossimilhança
e depois achar as derivadas parciais
em relação a e .
Conteúdo envolvido: densidade da Normal, logaritmo de produto,
regras de derivação (cadeia e potência).

Passo 2

Primeiro a densidade de cada f(xi;mu,sigma^2) =1raiz2pisigma^2 exp!l(-(xi-mu)^22sigma^2r) é
L(mu;sigma^2) =prodi=1^n f(xi;mu,sigma^2) =l(2pisigma^2r)^-n/2 exp!l(-12sigma^2sumi=1^n(xi-mu)^2r)
Como os ln L(mu;sigma^2) =-n2ln(2pisigma^2) ;-;12sigma^2sumi=1^n(xi-mu)^2 são independentes, a função de verossimilhança é
Agora aplicamos (porque transforma produto em soma e
exponencial em coeficiente):

Passo 3

Vamos derivar em relação a ln L=-n2ln(2pisigma^2) -12sigma^2sumi=1^n(xi-mu)^2, .
Na expressão
partialpartialmuln L =-12sigma^2sumi=1^nl[-2(xi-mu)r] =1sigma^2sumi=1^n(xi-mu)
só o segundo termo depende de .
Usamos a regra:
.
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Passo 4

Agora a derivada em relação a partialpartialsigma^2ln L =-n2sigma^2+12sigma^4sumi=1^n(xi-mu)^2 .
Temos dois pedaços:
  1. .
    .
    Então vira .
  2. .
    Trate como constante e
    use .
    Assim dá
Somando as duas partes:

Resposta

boxed ln L(mu;sigma^2) &=-n2ln(2pisigma^2) -12sigma^2sumi=1^n(xi-mu)^2, partialpartialmuln L &=1sigma^2sumi=1^n(xi-mu), partialpartialsigma^2ln L &=-n2sigma^2 +12sigma^4sumi=1^n(xi-mu)^2

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