Seja
uma amostra aleatória de uma variável normalmente distribuída com parâmetros
e
.
Apresente o
de
e suas derivadas.
Apresente o
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente pegar uma amostra independente
de uma Normal com média
e variância
,
calcular o logaritmo da função de verossimilhança
e depois achar as derivadas parciais
em relação a e
.
Conteúdo envolvido: densidade da Normal, logaritmo de produto,
regras de derivação (cadeia e potência).
calcular o logaritmo da função de verossimilhança
em relação a
Conteúdo envolvido: densidade da Normal, logaritmo de produto,
regras de derivação (cadeia e potência).
Passo 2
Primeiro a densidade de cada
é
Como os
são independentes, a função de verossimilhança é
Agora aplicamos
(porque
transforma produto em soma e
exponencial em coeficiente):
exponencial em coeficiente):
Passo 3
Vamos derivar em relação a
.
Na expressão
Na expressão
só o segundo termo depende de
.
Usamos a regra:
.
Logo
Usamos a regra:
Logo
Passo 4
Agora a derivada em relação a
.
Temos dois pedaços:
Temos dois pedaços:
-
.
.
Então vira. -
.
Tratecomo constante e
use.
Assim dá
Somando as duas partes: