Seja S=(x1, x2, x3, x4) in R^4: x1+x2+x3+x4=0. Determine uma base ortonormada para S, em relação ao produto usual de R^4.

Passo 1

O subespaço
S=(x1,x2,x3,x4)inR^4:x1+x2+x3+x4=0
é um hiperplano de dimensão 3 em R^4. Para obter uma base ortonormal em relação ao produto escalar usual, vamos:
  1. escolher uma base qualquer de S,
  2. aplicar o processo de Gram–Schmidt para orthogonalizar,
  3. normalizar os vetores obtidos.

Passo 2

Escolhemos três vetores em S cujas componentes somam zero e que são linearmente independentes:
v1=(1,-1,0,0), v2=(1,1,-2,0), v3=(1,1,1,-3)
De fato, em cada um sumi=1^4xi=0 e v1,v2,v3 tem posto 3, logo é base de S.

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt para obter vetores ortogonais u1,u2,u3.
  1. Definimos u1=v1.
    O seu comprimento é
|u1| =raiz1^2+(-1)^2+0^2+0^2 =raiz2
  1. Definimos
u2 =v2-lang<= v2,u1rang<=|u1|^2,u1
Calculamos
lang<= v2,u1rang<==(1)(1)+(1)(-1)+(-2)(0)+0cdot0=0,
logo u2=v2 e
|u2| =raiz1^2+1^2+(-2)^2+0^2 =raiz6
  1. Definimos
u3 =v3 -lang<= v3,u1rang<=|u1|^2,u1 -lang<= v3,u2rang<=|u2|^2,u2
Calculamos lang<= v3,u1rang<==1-1+0+0=0 e lang<= v3,u2rang<==1+1-2cdot1+0=0,
logo u3=v3 e
|u3| =raiz1^2+1^2+1^2+(-3)^2 =raiz12=2raiz3

Passo 4

Agora normalizamos cada ui para obter uma base ortonormal e1,e2,e3:
e1 =u1|u1| =1raiz2(1,-1,0,0),
e2 =u2|u2| =1raiz6(1,1,-2,0),
e3 =u3|u3| =12raiz3(1,1,1,-3)

Resposta

Uma base ortonormal de S em relação ao produto usual é
1raiz2(1,-1,0,0), ;, 1raiz6(1,1,-2,0), ;, 12raiz3(1,1,1,-3)

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