Seja
. Determine uma base ortonormada para
, em relação ao produto usual de
.
Passo 1
O subespaço
é um hiperplano de dimensão 3 em
. Para obter uma base ortonormal em relação ao produto escalar usual, vamos:
- escolher uma base qualquer de
, - aplicar o processo de Gram–Schmidt para orthogonalizar,
- normalizar os vetores obtidos.
Passo 2
Escolhemos três vetores em
cujas componentes somam zero e que são linearmente independentes:
De fato, em cada um
e
tem posto 3, logo é base de
.
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt para obter vetores ortogonais
.
- Definimos
.
O seu comprimento é
- Definimos
Calculamos
,
logo e
logo
- Definimos
Calculamos
e
,
logo e
logo
Passo 4
Agora normalizamos cada
para obter uma base ortonormal
:
Resposta
Uma base ortonormal de
em relação ao produto usual é