1. Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas com reposição. Seja X : n^{\circ} de bolas brancas. Determinar a distribuição de probabilidade de X.

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de extração de 3 bolas de uma urna com 4 bolas brancas e 3 bolas pretas, sempre com reposição. Define-se a variável aleatória X como o número de bolas brancas obtidas nas 3 retiradas. O conteúdo aqui é reconhecimento de que, por haver reposição e probabilidade constante de retirar branca, trata-se de uma distribuição binomial.

Passo 2

Em cada retirada a probabilidade de sucesso (tirar bola branca) é
p = \frac{\text{número de bolas brancas}}{\text{total de bolas}} = \frac{4}{7}ú
e a probabilidade de falha (bola preta) é
1 - p = \frac{3}{7}.

Passo 3

Como fazemos n=3 retiradas independentes com mesma probabilidade p de sucesso, a variável X segue a distribuição binomial de parâmetros n=3 e p=4/7. A sua função massa de probabilidade vale, para k=0,1,2,3,

Passo 4

P(X = k) = \binom{3}{k}\,p^k\,(1-p)^{3-k} = \binom{3}{k}\Bigl(\frac{4}{7}\Bigr)^{\!k}\Bigl(\frac{3}{7}\Bigr)^{\!3-k}.

Resposta

P(X = k) = \binom{3}{k}\Bigl(\frac{4}{7}\Bigr)^{\!k}\Bigl(\frac{3}{7}\Bigr)^{\!3-k}, \quad k=0,1,2,3.

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