Seja
e
com a seguinte densidade conjunta:
Seja
e
, forneça a densidade conjunta de
e
.
Passo 1
Beleza, então a questão diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
E define U = X² e V = X² + Y². O que a gente precisa fazer é achar a densidade conjunta de (U,V). O conteúdo aqui é “transformação de variáveis” em densidades: a gente vai usar a inversa da transformação e o jacobiano, explicando cada passo, sem pular etapas.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a transformação e a sua inversa.
Transformação:
Transformação:
Para inverter, como X>0 e Y>0, tomamos as raízes positivas:
Qual é o domínio de (U,V)? Como X>0 dá U>0, e Y>0 dá V - U > 0, ou seja
Passo 3
Agora precisamos do jacobiano da transformação inversa
.
• →
• →
O determinante da matriz jacobiana é
•
•
O determinante da matriz jacobiana é
E a gente usa o valor absoluto, mas aqui já é positivo.
Passo 4
A fórmula da densidade conjunta de
é
Substituindo
e o jacobiano:
Como
e
, o expoente vira
. Então
Resposta
A densidade conjunta de
é