Seja X e Y com a seguinte densidade conjunta:
fX,Y(x,y)= 4pie^-(x^2+y^2) & x>0, y>0 0 & caso contrário á
Seja U=X^2 e V=X^2+Y^2, forneça a densidade conjunta de U e V.

Passo 1

Beleza, então a questão diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
fX,Y(x,y)= dfrac4pi,e^-(x^2+y^2),&x>0,;y>0, 0,&caso contrário á
E define U = X² e V = X² + Y². O que a gente precisa fazer é achar a densidade conjunta de (U,V). O conteúdo aqui é “transformação de variáveis” em densidades: a gente vai usar a inversa da transformação e o jacobiano, explicando cada passo, sem pular etapas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a transformação e a sua inversa.
Transformação:
U = X^2, V = X^2 + Y^2
Para inverter, como X>0 e Y>0, tomamos as raízes positivas:
X = raizU, Y = raizV - U
Qual é o domínio de (U,V)? Como X>0 dá U>0, e Y>0 dá V - U > 0, ou seja
u>0,;v>u

Passo 3

Agora precisamos do jacobiano da transformação inversa J = det tfrac12raizu & 0 -,tfrac12raizv-u & tfrac12raizv-u = 12raizucdot12raizv-u = 14raizu,(v-u) .


O determinante da matriz jacobiana é
E a gente usa o valor absoluto, mas aqui já é positivo.

Passo 4

A fórmula da densidade conjunta de fU,V(u,v) = fX,Yl(raiz u,raizv-ur);times;|J| é
fU,V(u,v) = 4pi,expl(-(raiz u^2 + raizv-u^2)r);times;14raizu,(v-u)
Substituindo fU,V(u,v) = 4pi,e^-vtimes14raizu,(v-u) = 1pi,e^-vraizu,(v-u) e o jacobiano:
Como e , o expoente vira . Então

Resposta

A densidade conjunta de fU,V(u,v) = dfrac1pi,dfrace^-vraizu,(v-u),&u>0,;v>u, 0,&caso contrário é
á

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