Sejam e variáveis aleatórias com densidade conjunta dada por
Encontre a densidade conjunta de e .
Passo 1
Beleza, então o exercício diz que e têm densidade conjunta
e pede a densidade conjunta de
Isso cai na parte de “transformação de variáveis” em probabilidade, mais especificamente em encontrar densidade conjunta via mudança de variável e cálculo do jacobiano. Vamos precisar:
Inverter a transformação .
Calcular o determinante jacobiano.
Substituir na fórmula de densidade transformada.
Passo 2
Primeiro invertendo a transformação:
A gente resolve para e em função de e . Note que
e
Passo 3
Agora o jacobiano. Seja
Montamos a matriz dos derivadas parciais e calculamos
Depois de derivar direitinho, encontra-se
|J| = 12,v
Passo 4
A fórmula geral é
gU,V(u,v) = fX,Yl(x(u,v),y(u,v)r),l|Jr|
Substituindo gU,V(u,v) = 1l(x^2y^2r);12v = 1U^2;12v = 12,U^2,v , fica
raizUV>=1Longrightarrow UV>=1,
Resta só definir a região de raiztfracUV>=1Longrightarrow UV>=1;Longrightarrow;U>= V, : como e , temos