Sejam X e Y variáveis aleatórias com densidade conjunta dada por
f(x,y) = 1x^2y^2, x >= 1, y >= 1
Encontre a densidade conjunta de U=XY e V=X/Y.

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que fX,Y(x,y)=1x^2y^2, x>=1,;y>=1 e U = X,Y e V = XY têm densidade conjunta
e pede a densidade conjunta de
Isso cai na parte de “transformação de variáveis” em probabilidade, mais especificamente em encontrar densidade conjunta via mudança de variável e cálculo do jacobiano. Vamos precisar:
  • Inverter a transformação .
  • Calcular o determinante jacobiano.
  • Substituir na fórmula de densidade transformada.

Passo 2

Primeiro invertendo a transformação:
U = X,Y, V = XY
A gente resolve para X^2 = (XY),(X/Y) = U,V ;;Longrightarrow;; X = raizU,V e Y = UX = UraizU,V = raizUV em função de e . Note que
e

Passo 3

Agora o jacobiano. Seja
x(u,v) = raizU,V, y(u,v)=raizUV
Montamos a matriz dos derivadas parciais e calculamos
J = partial x/partial u & partial x/partial v[6pt] partial y/partial u & partial y/partial v
Depois de derivar direitinho, encontra-se
|J| = 12,v

Passo 4

A fórmula geral é
gU,V(u,v) = fX,Yl(x(u,v),y(u,v)r),l|Jr|
Substituindo gU,V(u,v) = 1l(x^2y^2r);12v = 1U^2;12v = 12,U^2,v , fica
raizUV>=1Longrightarrow UV>=1,
Resta só definir a região de raiztfracUV>=1Longrightarrow UV>=1;Longrightarrow;U>= V, : como e , temos
e sempre .

Resposta

A densidade conjunta de gU,V(u,v) = 12,u^2,v, é
v>0, U,V>=1, U>= V,
para
e zero caso contrário.

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