Seja a seguinte equação diferencial ordinária: y’=(3x^2+sen(x)) . (y-2). Com base nessa equação e em informações sobre as equações diferenciais, analise as seguintes afirmações e a relação proposta entre elas:
1- a equação citada é uma equação diferencial ordinária separável.
2- essa equação pode ser reescrita na forma diferencial (y-2)dy-(3x^2+sen(x))dx=0​

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada nesse problema de equações diferenciais. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por $ y’ = (3x^2 + \sin(x)) \cdot (y - 2) $. Nosso objetivo aqui é analisar duas afirmações sobre essa equação:
  1. Se a equação é separável.
  2. Se ela pode ser reescrita na forma diferencial $ (y-2)dy - (3x^2 + \sin(x))dx = 0 $.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais separáveis e como reescrever uma EDO na forma diferencial. Vamos juntos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial separável. Uma EDO é chamada de separável se conseguimos escrever a equação de forma que todas as expressões que envolvem $ y $ fiquem de um lado e as que envolvem $ x $ fiquem do outro lado. Ou seja, podemos separar as variáveis $ x $ e $ y $.
Vamos ver se a equação dada atende a esse critério:
y
Podemos reescrever $ y’ $ como $ \frac{dy}{dx} $:
x
Agora, vamos tentar separar as variáveis:
x
Viu só? Conseguimos separar os termos que envolvem $ y $ de um lado e os que envolvem $ x $ de outro. Isso significa que a equação é separável. Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda afirmação, que diz que a equação pode ser reescrita na forma diferencial:
(y - 2) dy - (3x^2 + sin(x)) dx = 0
Para verificar isso, vamos pegar a nossa equação original e manipulá-la:
Começando com:
dydx = (3x^2 + sin(x)) cdot (y - 2)
Multiplicando ambos os lados por $ dx $:
dx
Agora, trazendo todos os termos para um lado da equação:
dy = (3x^2 + sin(x)) cdot (y - 2) dx
Perceba que se distribuirmos $ (y - 2) $ em $ dx $:
dy - (3x^2 + sin(x)) cdot (y - 2) dx = 0
No entanto, a forma proposta na afirmação é:
(y - 2)
Claramente, nossa expressão não coincide exatamente com a forma dada na afirmação. Parece que houve uma confusão na distribuição dos termos. Portanto, a segunda afirmação está incorreta.

Resposta

Resumindo, a equação diferencial dada é separável, como afirmado na primeira declaração. No entanto, ela não pode ser reescrita na forma diferencial proposta na segunda afirmação. Assim, somente a primeira afirmação é verdadeira.

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