Seja a seguinte sequência abaixo
a_{n}=\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{5} a_{3}, \frac{4}{9}, a_{5}, \frac{6}{13}, \ldots\right), \text { com } n \in N(n \geq 1)
a) Com base na análise da sequência acima, qual seria a “lei de formação” dessa sequência? JUSTIFIQUE!
e) Quais seriam os valores dos termo a_{3} e a_{5} ? JUSTIFIQUE.
f) Qual seria valor do termo a_{n} quando \boldsymbol{n} \rightarrow \infty ? JUSTIFIQUE.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência cujos termos iniciais, organizados por posição, são:
  • a_{1}=\dfrac{1}{3}
  • a_{2}=\dfrac{2}{5}
  • a_{3} é desconhecido (pedido)
  • a_{4}=\dfrac{4}{9}
  • a_{5} é desconhecido (pedido)
  • a_{6}=\dfrac{6}{13}
    O que o exercício pede:
    (a) Encontrar e justificar a lei de formação da sequência (ou seja, uma expressão que dê a_{n} em função de n).
    (b) Determinar e justificar os valores de a_{3} e a_{5}.
    (c) Calcular e justificar o limite \lim_{n\to\infty} a_{n}.

Passo 2

Observar padrões nos numeradores e denominadores dos termos dados. Vou listar o par (n,\text{termo}) para os valores conhecidos:
  • Para n=1: a_{1}=\dfrac{1}{3}. Numerador =1. Denominador =3.
  • Para n=2: a_{2}=\dfrac{2}{5}. Numerador =2. Denominador =5.
  • Para n=4: a_{4}=\dfrac{4}{9}. Numerador =4. Denominador =9.
  • Para n=6: a_{6}=\dfrac{6}{13}. Numerador =6. Denominador =13.
Comparando numeradores com o índice, percebe-se que o numerador coincide com n em todos os termos dados. Para o denominador, verifica-se:
  • quando n=1 o denominador é 3=2\cdot1+1,
  • quando n=2 o denominador é 5=2\cdot2+1,
  • quando n=4 o denominador é 9=2\cdot4+1,
  • quando n=6 o denominador é 13=2\cdot6+1.
Essa regularidade (numerador igual a n e denominador igual a 2n+1) é consistente com todos os termos fornecidos. Portanto a hipótese natural e justificada pela observação é que a lei de formação seja
a_{n}=\dfrac{n}{2n+1}.
Justificativa: a regra produz exatamente os termos fornecidos para n=1,2,4,6; como o enunciado apresenta uma sequência com padrões numéricos simples, essa é a extensão coerente e única (mínima) que explica todos os termos mostrados.

Passo 3

Usar a lei de formação encontrada para calcular a_{3} e a_{5}.
Calcular a_{3}:
a_{3}=\dfrac{3}{2\cdot 3+1}=\dfrac{3}{6+1}=\dfrac{3}{7}.
Calcular a_{5}:
a_{5}=\dfrac{5}{2\cdot 5+1}=\dfrac{5}{10+1}=\dfrac{5}{11}.
Ambas as frações já estão na forma irredutível.

Passo 4

Calcular o limite \lim_{n\to\infty} a_{n} com a_{n}=\dfrac{n}{2n+1}.
Técnica: dividir numerador e denominador por n (método padrão para limites de razão de polinômios em n):
a_{n}=\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac{\dfrac{n}{n}}{\dfrac{2n+1}{n}}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{n}}.
Quando n\to\infty, tem-se \dfrac{1}{n}\to 0. Substituindo no expressão:
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{n}}=\dfrac{1}{2+0}=\dfrac{1}{2}.
Interpretação rápida: para razões de polinômios de mesmo grau, o limite é a razão dos coeficientes líderes; aqui é \dfrac{1}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle a_{n}=\dfrac{n}{2n+1}.
(b) \displaystyle a_{3}=\dfrac{3}{7}
\displaystyle a_{5}=\dfrac{5}{11}.
(c) \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=\dfrac{1}{2}.

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