Seja a seguinte sequência abaixo
a) Com base na análise da sequência acima, qual seria a “lei de formação” dessa sequência? JUSTIFIQUE!
e) Quais seriam os valores dos termo
e
? JUSTIFIQUE.
f) Qual seria valor do termo
quando
? JUSTIFIQUE.
e) Quais seriam os valores dos termo
f) Qual seria valor do termo
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência cujos termos iniciais, organizados por posição, são:
-
-
-
é desconhecido (pedido) -
-
é desconhecido (pedido) -
O que o exercício pede:
(a) Encontrar e justificar a lei de formação da sequência (ou seja, uma expressão que dêem função de ).
(b) Determinar e justificar os valores dee .
(c) Calcular e justificar o limite.
Passo 2
Observar padrões nos numeradores e denominadores dos termos dados. Vou listar o par
para os valores conhecidos:
- Para
: . Numerador . Denominador . - Para
: . Numerador . Denominador . - Para
: . Numerador . Denominador . - Para
: . Numerador . Denominador .
Comparando numeradores com o índice, percebe-se que o numerador coincide com
em todos os termos dados. Para o denominador, verifica-se:
- quando
o denominador é , - quando
o denominador é , - quando
o denominador é , - quando
o denominador é .
Essa regularidade (numerador igual a
e denominador igual a
) é consistente com todos os termos fornecidos. Portanto a hipótese natural e justificada pela observação é que a lei de formação seja
Justificativa: a regra produz exatamente os termos fornecidos para
; como o enunciado apresenta uma sequência com padrões numéricos simples, essa é a extensão coerente e única (mínima) que explica todos os termos mostrados.
Passo 3
Usar a lei de formação encontrada para calcular
e
.
Calcular
:
Calcular
:
Ambas as frações já estão na forma irredutível.
Passo 4
Calcular o limite
com
.
Técnica: dividir numerador e denominador por
(método padrão para limites de razão de polinômios em
):
Quando
, tem-se
. Substituindo no expressão:
Interpretação rápida: para razões de polinômios de mesmo grau, o limite é a razão dos coeficientes líderes; aqui é
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)