Considere as seguintes séries numéricas abaixo
\begin{aligned} & a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{1+n}\right) \operatorname{com} n \in N(n \geq 1) \\\ & b_{n}=\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n-1}\right) \operatorname{com} n \in N(n \geq 2) \end{aligned}
Com base nas séries acima pede-se:
a) Faça uma análise para cada uma das séries se elas divergem ou convergem. Se convergem, para qual valor elas convergem?
b) Faça uma análise das séries c_{n} e d_{n}, tais que c_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cdot b_{n} e
d_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-b_{n}\right) .

Passo 1

O enunciado fornece duas expressões envolvendo somatórios e pede análise de convergência. Há uma ambiguidade na escrita: parece que as fórmulas dadas destinam-se aos termos das séries (ou seja, aos a_n e b_n como termos), e não que a_n e b_n sejam já os somatórios. Vou interpretar assim (interpretação comum e que permite responder as perguntas sobre as séries pedidas). Informações relevantes que vou usar (peguei estes fórmulas do enunciado):
  • Termos das sequências:
    • a_n=\dfrac{n}{n+1} para n\ge 1.
    • b_n=\dfrac{n+1}{n-1} para n\ge 2 (observe que b_1 não está definida).
  • Séries a analisar (interpretação):
    • Série S_a=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}.
    • Série S_b=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n+1}{n-1}.
  • Séries formadas a partir dos termos:
    • Série S_c=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} a_n b_n=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{n+1}\cdot\frac{n+1}{n-1}.
    • Série S_d=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\bigl(a_n-b_n\bigr)=\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n-1}\right).
  • Perguntas a responder:
    • (a) Para S_a e S_b: convergem ou divergem? Se convergem, para qual valor?
    • (b) Para S_c e S_d: convergem ou divergem? Se convergem, para qual valor?

Passo 2

Lembrete das ferramentas que vamos usar (pequena “aula” prática, bem mastigada):
  • Teste do termo geral (teste necessário): Se \displaystyle\lim_{n\to\infty}t_n \neq 0, então a série \sum t_n diverge. Ou seja, um requisito necessário para convergência é que os termos tendam a zero.
  • Comparações e decomposições úteis:
    • Se um termo pode ser escrito como 1+ algo que gera uma série divergente (por exemplo um termo cujo soma de 1 diverge), então a série diverge.
    • Teste da comparação ou comparação limite (limit comparison): se t_n é positivo e \lim_{n\to\infty}\dfrac{t_n}{u_n}=L com 0<L<\infty, então \sum t_n e \sum u_n têm o mesmo comportamento (convergem ou divergem).
  • Exemplo simples para fixar: a série harmônica \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} diverge. Se um termo tem ordem assintótica \sim \dfrac{1}{n}, a série associada geralmente diverge.

Passo 3

Calcule o termo geral:
\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}.
Tomando limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1.
Pelo teste do termo geral, como o termo não tende a 0 (tende a 1), a série diverge. Uma forma alternativa e bem direta de ver que diverge para +\infty é comparar com uma constante: para todo n\ge 1,
\frac{n}{n+1}\ge \frac{1}{2}
(porque 1-\frac{1}{n+1}\ge\frac{1}{2} para n\ge1). Assim os somatórios parciais satisfazem
\sum_{k=1}^N\frac{k}{k+1}\ge \sum_{k=1}^N\frac{1}{2}=\frac{N}{2}\xrightarrow[N\to\infty]{}+\infty,
logo \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1} diverge e, na verdade, diverge para +\infty.

Passo 4

Simplifique o termo:
\frac{n+1}{n-1}=1+\frac{2}{n-1}.
Tomando limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n-1}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n-1}\right)=1.
Como o termo não tende a 0, pelo teste do termo geral a série diverge. Para ver o tipo de divergência, decompose a soma:
\sum_{n=2}^{N}\frac{n+1}{n-1}=\sum_{n=2}^{N}1+2\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n-1}=(N-1)+2\sum_{k=1}^{N-1}\frac{1}{k}.
Aqui \sum_{k=1}^{N-1}\frac{1}{k} é uma soma harmônica parcial que cresce como \ln N, portanto o lado direito tende a +\infty quando N\to\infty. Conclusão: \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n+1}{n-1} diverge para +\infty.

Passo 5

Simplifique o produto termo a termo:
a_n b_n=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{n+1}{n-1}=\frac{n}{n-1}=1+\frac{1}{n-1}.
Note que \lim_{n\to\infty}a_n b_n=1\neq 0. Pelo teste do termo geral, a série diverge. Também podemos escrever:
\sum_{n=2}^{N}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)=(N-1)+\sum_{k=1}^{N-1}\frac{1}{k},
que tende a +\infty. Portanto S_c diverge (para +\infty).

Passo 6

Calcule a diferença e simplifique cuidadosamente:
\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n-1} =\frac{n(n-1)-(n+1)^2}{(n+1)(n-1)} =\frac{n^2-n-(n^2+2n+1)}{n^2-1} =\frac{-3n-1}{n^2-1}.
Logo
a_n-b_n=-\frac{3n+1}{n^2-1}.
Estude o comportamento para grandes n. Para n grande,
a_n-b_n \sim -\frac{3n}{n^2}=-\frac{3}{n}.
Ou seja, os termos têm ordem assintótica -3/n. Aqui a expressão tende a 0, então o teste do termo geral é inconclusivo. Mas podemos aplicar a comparação limite com a série harmônica: considere u_n=\dfrac{1}{n}. Calcule
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-b_n}{1/n} =\lim_{n\to\infty} n\cdot\left(-\frac{3n+1}{n^2-1}\right) =\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{3n^2+n}{n^2-1}\right)=-3.
O limite é finito e diferente de zero; pelo teste de comparação limite, \sum (a_n-b_n) tem o mesmo comportamento da série \sum \dfrac{1}{n}, isto é, diverge. Como os termos são negativos a partir de certo n em média (o fator principal é -3/n), a série diverge para -\infty (mais precisamente, as somas parciais se comportam como -3 vezes a soma harmônica parcial, logo tendem a -\infty). Conclusão: S_d diverge (tende a -\infty).

Resposta

(a) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1} diverge (para +\infty).
(a) \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n+1}{n-1} diverge (para +\infty).
(b) \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_n b_n=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{n-1} diverge (para +\infty).
(b) \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\bigl(a_n-b_n\bigr)=\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n-1}\right) diverge (para -\infty).

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