Seja a seguinte série de potências da função
Com base na função acima, a qual representa uma série de potências de
, pede-se:
a) Escreva a função
em termos de somatório
b) Encontre função
em termos de somatório, sabendo que
c) Encontre função
em termos de somatório, sabendo que
d) Faça uma análise de
para saber se essa série é convergente ou divergente.
a) Escreva a função
b) Encontre função
c) Encontre função
d) Faça uma análise de
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede quatro coisas:
- (a) escrever
em forma de somatório; - (b) encontrar
em forma de somatório, sabendo que ; - (c) encontrar
em forma de somatório, sabendo que ; - (d) analisar a convergência de
(onde a série converge ou diverge).
Informações úteis que já vêm do enunciado:
- A série é uma série de potências em
(termos de forma constante ). - Não foi dado outro domínio explícito, então devemos determinar o raio/intervalo de convergência ao longo da resolução.
Passo 2
Escrever
como somatório. Observando os coeficientes: o termo associado a
é
, a
é
, a
é
, etc. Isso sugere o padrão coeficiente igual a
quando o expoente é
. Por isso uma forma natural é indexar a soma a partir de
:
Explicação didática do que fiz: escolhi
para o primeiro termo porque assim o expoente do primeiro termo é
e o coeficiente correspondente é
. Esse é um jeito padrão e limpo de escrever séries do tipo
.
Passo 3
Achar uma expressão fechada para
(útil para os itens seguintes) e lembrar do raio de convergência. Vamos usar a série geométrica padrão e derivá‑la:
Fórmula básica (série geométrica): para
vale
Diferenciando termo a termo (justificação: diferenciação termo a termo é válida dentro do raio de convergência), obtém-se
Multiplicando por
dá
Agora volte para
. Separe em duas somas:
Aqui
(o termo
é zero) e
. Portanto
para
. Conclusão: a série tem raio de convergência
(porque a série geométrica usada tem
), e dentro de
podemos manipular normalmente a série.
Passo 4
Encontrar
por diferenciação termo a termo e por derivada da forma fechada, mostrando que ambas coincidem.
(1) Diferenciando termo a termo a soma
obtemos
Para escrever com expoente
(índice começando em
) faça a mudança de índice
. Substituindo
obtemos
(Trocando o nome do índice de volta para
se preferir:)
(2) Pela forma fechada
, derivando diretamente:
para
. Essas duas expressões (série e forma fechada) coincidem dentro do raio de convergência.
Observação didática: a diferenciação termo a termo é permitida porque trabalhou‑se dentro do intervalo
onde a série converge uniformemente em qualquer compacto estritamente contido em
; isso garante que derivada e soma podem ser trocadas.
Passo 5
Calcular
. A forma mais simples é usar as formas fechadas encontradas nos passos anteriores e depois, se quiser, expandir em série.
Usando as formas fechadas:
para
e sempre que
(aqui
não é zero para
). Agora expressar
como somatório:
é
vezes a série geométrica, logo
para
.
Comentário sobre validade: dividir séries termo a termo sem cuidado pode ser perigoso, mas como foi possível obter expressões fechadas e
é não nula em
, a divisão das formas fechadas é justificada, e depois expandimos a forma resultante em série geométrica.
Passo 6
Análise de convergência de
.
A expressão em série de
é
Isso é uma série geométrica com razão
. A série geométrica
converge se, e somente se,
. Portanto:
- A série que representa
converge para e representa a função nesse intervalo. - Para
temos os termos (não tendem a zero), logo diverge. - Para
temos os termos (os termos não tendem a zero e as somas parciais oscilam), logo diverge. - Para
os termos não tendem a zero (crescem em módulo), logo a série diverge.
Conclusão: a série de
é convergente exatamente quando
e divergente para
. O ponto
é singular (polo simples de
), e
também não pertence à região de convergência.
Passo 7
Recapitulando de forma prática (dicas para a prova):
- Identificar padrões de coeficientes e escrever o somatório com índice começando em
costuma simplificar. - Usar a série geométrica
e suas derivadas é uma ferramenta poderosa para séries com coeficientes polinomiais em . - Diferenciação termo a termo e manipulações algébricas com as formas fechadas são válidas dentro do raio de convergência; sempre verifique onde as funções fechadas são definidas (aqui
e para divisão). - Para analisar convergência, reconhecer a série como geométrica torna imediata a conclusão sobre o raio e os extremos.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) A série de
converge se, e somente se,
. Para
(incluindo
e
) diverge.