Seja a seguinte série de potências da função f(x)
\begin{gathered} f(x)=1+2 x+3 x^{2}+\cdots \\\ \text { com } n \in N(n \geq 1) \end{gathered}
Com base na função acima, a qual representa uma série de potências de x, pede-se:
a) Escreva a função f(x) em termos de somatório
b) Encontre função g(x) em termos de somatório, sabendo que g(x)=f^{\prime}(x)
c) Encontre função h(x) em termos de somatório, sabendo que h(x)=g(x) / f(x)
d) Faça uma análise de \mathrm{h}(\mathrm{x}) para saber se essa série é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
f(x)=1+2x+3x^{2}+\cdots
e pede quatro coisas:
  • (a) escrever f(x) em forma de somatório;
  • (b) encontrar g(x) em forma de somatório, sabendo que g(x)=f'(x);
  • (c) encontrar h(x) em forma de somatório, sabendo que h(x)=g(x)/f(x);
  • (d) analisar a convergência de h(x) (onde a série converge ou diverge).
Informações úteis que já vêm do enunciado:
  • A série é uma série de potências em x (termos de forma constante \cdot x^{n}).
  • Não foi dado outro domínio explícito, então devemos determinar o raio/intervalo de convergência ao longo da resolução.

Passo 2

Escrever f(x) como somatório. Observando os coeficientes: o termo associado a x^{0} é 1, a x^{1} é 2, a x^{2} é 3, etc. Isso sugere o padrão coeficiente igual a n+1 quando o expoente é n. Por isso uma forma natural é indexar a soma a partir de n=0:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,x^{n}.
Explicação didática do que fiz: escolhi n=0 para o primeiro termo porque assim o expoente do primeiro termo é 0 e o coeficiente correspondente é n+1=1. Esse é um jeito padrão e limpo de escrever séries do tipo 1+2x+3x^{2}+\cdots.

Passo 3

Achar uma expressão fechada para f(x) (útil para os itens seguintes) e lembrar do raio de convergência. Vamos usar a série geométrica padrão e derivá‑la:
Fórmula básica (série geométrica): para |x|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Diferenciando termo a termo (justificação: diferenciação termo a termo é válida dentro do raio de convergência), obtém-se
\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{\,n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Multiplicando por x
\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Agora volte para f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n}. Separe em duas somas:
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}n x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}.
Aqui \sum_{n=0}^{\infty}n x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n}=\dfrac{x}{(1-x)^{2}} (o termo n=0 é zero) e \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\dfrac{1}{1-x}. Portanto
f(x)=\frac{x}{(1-x)^{2}}+\frac{1}{1-x}=\frac{1}{(1-x)^{2}},
para |x|<1. Conclusão: a série tem raio de convergência R=1 (porque a série geométrica usada tem R=1), e dentro de |x|<1 podemos manipular normalmente a série.

Passo 4

Encontrar g(x)=f'(x) por diferenciação termo a termo e por derivada da forma fechada, mostrando que ambas coincidem.
(1) Diferenciando termo a termo a soma \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n} obtemos
g(x)=f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (n+1)\,n\,x^{\,n-1}.
Para escrever com expoente n (índice começando em 0) faça a mudança de índice k=n-1. Substituindo n=k+1 obtemos
g(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(k+2)\,x^{k}.
(Trocando o nome do índice de volta para n se preferir:)
g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)\,x^{n}.
(2) Pela forma fechada f(x)=\dfrac{1}{(1-x)^{2}}, derivando diretamente:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big((1-x)^{-2}\big)=2(1-x)^{-3}=\frac{2}{(1-x)^{3}},
para |x|<1. Essas duas expressões (série e forma fechada) coincidem dentro do raio de convergência.
Observação didática: a diferenciação termo a termo é permitida porque trabalhou‑se dentro do intervalo |x|<1 onde a série converge uniformemente em qualquer compacto estritamente contido em (-1,1); isso garante que derivada e soma podem ser trocadas.

Passo 5

Calcular h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}. A forma mais simples é usar as formas fechadas encontradas nos passos anteriores e depois, se quiser, expandir em série.
Usando as formas fechadas:
h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{\dfrac{2}{(1-x)^{3}}}{\dfrac{1}{(1-x)^{2}}=\\ }=\frac{2}{1-x},
para |x|<1 e sempre que f(x)\neq 0 (aqui f(x)=1/(1-x)^{2} não é zero para |x|<1). Agora expressar h(x) como somatório: \dfrac{2}{1-x} é 2 vezes a série geométrica, logo
h(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 2\,x^{n},
para |x|<1.
Comentário sobre validade: dividir séries termo a termo sem cuidado pode ser perigoso, mas como foi possível obter expressões fechadas e f(x) é não nula em |x|<1, a divisão das formas fechadas é justificada, e depois expandimos a forma resultante em série geométrica.

Passo 6

Análise de convergência de h(x).
A expressão em série de h(x) é
h(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 2\,x^{n}=2\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.
Isso é uma série geométrica com razão x. A série geométrica \sum x^{n} converge se, e somente se, |x|<1. Portanto:
  • A série que representa h(x) converge para |x|<1 e representa a função h(x)=\dfrac{2}{1-x} nesse intervalo.
  • Para x=1 temos os termos 2,2,2,\dots (não tendem a zero), logo diverge.
  • Para x=-1 temos os termos 2,-2,2,-2,\dots (os termos não tendem a zero e as somas parciais oscilam), logo diverge.
  • Para |x|>1 os termos não tendem a zero (crescem em módulo), logo a série diverge.
Conclusão: a série de h(x) é convergente exatamente quando |x|<1 e divergente para |x|\ge 1. O ponto x=1 é singular (polo simples de h), e x=-1 também não pertence à região de convergência.

Passo 7

Recapitulando de forma prática (dicas para a prova):
  • Identificar padrões de coeficientes e escrever o somatório com índice começando em 0 costuma simplificar.
  • Usar a série geométrica \sum x^{n}=1/(1-x) e suas derivadas é uma ferramenta poderosa para séries com coeficientes polinomiais em n.
  • Diferenciação termo a termo e manipulações algébricas com as formas fechadas são válidas dentro do raio de convergência; sempre verifique onde as funções fechadas são definidas (aqui |x|<1 e x\neq1 para divisão).
  • Para analisar convergência, reconhecer a série como geométrica torna imediata a conclusão sobre o raio e os extremos.

Resposta

(a) \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,x^{n}.
(b) \displaystyle g(x)=f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)\,x^{n}.
(c) \displaystyle h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}=\sum_{n=0}^{\infty}2\,x^{n}=\frac{2}{1-x}.
(d) A série de h(x) converge se, e somente se, |x|<1. Para |x|\ge 1 (incluindo x=1 e x=-1) diverge.

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