Estude com relação a máximos e mínimos locais e a pontos de sela a função f(x, y, z)=
x^2-y^2+4 z^2+2 x z-4 y z-2 x-6 z

Passo 1

Temos a função f(x,y,z)=x{2}-y{2}+4z^{2}+2xz-4yz-2x-6z e queremos estudar seus pontos críticos, verificando se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso vamos usar conceitos de gradiente (para achar os pontos críticos) e Hessiano (para classificá-los).

Passo 2

Calculamos o gradiente ∇f e igualamos a zero para encontrar os pontos críticos. As derivadas parciais são:
[
partial fpartial x=2x+2z-2=0, partial fpartial y=-2y-4z=0, partial fpartial z=8z+2x-4y-6=0
]
Das duas primeiras equações obtemos x+z-1=0 ⇒ x=1-z e y+2z=0 ⇒ y=-2z. Substituindo esses valores na terceira equação:
[
8z+2(1-z)-4(-2z)-6=0
]
que se simplifica para 14z-4=0, daí z=2/7. Logo x=1-2/7=5/7 e y=-2·(2/7)=-4/7. O único ponto crítico é (5/7, -4/7, 2/7).

Passo 3

Agora formamos o Hessiano H das segundas derivadas para classificar o ponto:
[
H= 2 & 0 & 2 0 & -2 & -4 2 & -4 & 8
]
Calculamos os menores principais: D1=2>0 e D2=det 2 & 00 & -2=-4<0, portanto H é indefinida nesse ponto. Isso significa que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (5/7, -4/7, 2/7) e ele é um ponto de sela.

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