Transforme a seguinte integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas e resolva a integral
integral-raiz2^raiz2 integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2 integralx^2+y^2^4-x^2-y^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral tripla em coordenadas cartesianas, que a gente precisa transformar para coordenadas cilíndricas e resolver. Isso envolve entender como mudar de um sistema de coordenadas para outro e como ajustar os limites de integração nesse processo. Pra resolvermos isso, vamos precisar conhecer as fórmulas de conversão para coordenadas cilíndricas e como calcular o volume usando esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o sistema de coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cartesianas, a gente tem x = r cos(theta) y = r sin(theta) z = z , dV = r , dz , dr , dtheta e . Em coordenadas cilíndricas, a gente usa , e , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo (como o raio de um círculo),
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • permanece o mesmo.
As conversões são dadas por:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Esse fator vem do jacobiano da transformação e é importante para ajustar a medida do volume.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração da integral original:
integral-raiz2^raiz2 integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2 integralx^2+y^2^4 - x^2 - y^2 d z , d y , d x
Isso descreve uma região no espaço onde:
  • varia de a ,
  • Para cada , varia de a ,
  • Para cada ponto , varia de a .
Observando a para e , percebemos que estamos lidando com um círculo de raio no plano . As funções de sugerem que a região está limitada inferiormente por um paraboloide e superiormente por outro paraboloide invertido .

Passo 4

Vamos transformar essa integral para coordenadas cilíndricas. Primeiro, reescrevemos os limites:
  • integral0^2pi integral0^raiz2 integralr^2^4 - r^2 r , dz , dr , dtheta varia de 0 a (o raio do círculo),
  • varia de 0 a (uma volta completa ao redor do círculo),
  • Para , a parte inferior é e a superior é .
Então, a integral em coordenadas cilíndricas fica:
Lembrando que multiplicamos por no início porque é o jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integralr^2^4 - r^2 r , dz = r [z]z = r^2^z = 4 - r^2 = r (4 - r^2 - r^2) = r (4 - 2r^2) = 4r - 2r^3 :
integral0^2pi integral0^raiz2 (4r - 2r^3) , dr , dtheta
Agora, a integral fica:
integral0^raiz2 (4r - 2r^3) , dr = [ 2r^2 - 24r^4 ]0^raiz2 = [ 2(raiz2)^2 - 12(raiz2)^4 ] = [ 2 cdot 2 - 12 cdot 4 ] = (4 - 2) = 2
Vamos integrar em relação a integral0^2pi 2 , dtheta = 2 [theta]0^2pi = 2 cdot 2pi = 4pi :
Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

A integral tripla, convertida para coordenadas cilíndricas e resolvida, resulta em .

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