Transforme a seguinte integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas e resolva a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral tripla em coordenadas cartesianas, que a gente precisa transformar para coordenadas cilíndricas e resolver. Isso envolve entender como mudar de um sistema de coordenadas para outro e como ajustar os limites de integração nesse processo. Pra resolvermos isso, vamos precisar conhecer as fórmulas de conversão para coordenadas cilíndricas e como calcular o volume usando esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o sistema de coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cartesianas, a gente tem
,
e
. Em coordenadas cilíndricas, a gente usa
,
e
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo (como o raio de um círculo), -
é o ângulo em torno do eixo , -
permanece o mesmo.
As conversões são dadas por:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Esse fator
vem do jacobiano da transformação e é importante para ajustar a medida do volume.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração da integral original:
Isso descreve uma região no espaço onde:
-
varia de a , - Para cada
, varia de a , - Para cada ponto
, varia de a .
Observando
a
para
e
, percebemos que estamos lidando com um círculo de raio
no plano
. As funções de
sugerem que a região está limitada inferiormente por um paraboloide
e superiormente por outro paraboloide invertido
.
Passo 4
Vamos transformar essa integral para coordenadas cilíndricas. Primeiro, reescrevemos os limites:
-
varia de 0 a (o raio do círculo), -
varia de 0 a (uma volta completa ao redor do círculo), - Para
, a parte inferior é e a superior é .
Então, a integral em coordenadas cilíndricas fica:
Lembrando que multiplicamos por
no início porque é o jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a
:
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
A integral tripla, convertida para coordenadas cilíndricas e resolvida, resulta em
.