Técnicas de construção de gráficos - 5,0 pontos
Dada a função
f(x)=x^4+x^33-4 x^2
a) ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada segunda;
b) determine os intervalos de crescimento;
c) determine os intervalos de decrescimento;
d) indique o comportamento da concavidade;
e) faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de técnicas de construção de gráficos juntos! A função que vamos analisar é:
f(x) = x^4 + x^33 - 4x^2
Vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar os extremos relativos, intervalos de crescimento e decrescimento, além de analisar a concavidade da função. Vou te guiar passo a passo para que tudo fique bem claro.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os extremos relativos da função usando o teste da derivada segunda. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivada de f'(x) = ddx(x^4) + ddx(x^33) - ddx(4x^2) = 4x^3 + x^2 - 8x .
Passo 2.1: Calcular a primeira derivada 4x^3 + x^2 - 8x = 0 x(4x^2 + x - 8) = 0
A derivada de x = 0 ou 4x^2 + x - 8 = 0 em relação a x = -1 pm raiz1 + 1288 = -1 pm raiz1298 é:
Passo 2.2: Encontrar os pontos críticos
Os pontos críticos ocorrem onde .
Resolvendo:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 3

Passo 3.1: Calcular a segunda derivada f''(x) = ddx(4x^3 + x^2 - 8x) = 12x^2 + 2x - 8
A segunda derivada é a derivada de f''(0) = 12(0)^2 + 2(0) - 8 = -8 (< 0) :
Passo 3.2: Testar os pontos críticos na segunda derivada
Vamos avaliar em cada ponto crítico para determinar se são máximos ou mínimos.
  1. Para :
Como , é um ponto de máximo relativo.
  1. Para :
Calculando dará um valor positivo, indicando mínimo relativo.
  1. Para :
Calculando dará um valor positivo, indicando mínimo relativo.

Passo 4

Agora que sabemos os extremos relativos, vamos determinar os intervalos de crescimento da função.
Passo 4.1: Analisar o sinal de f'(x) = 4x^3 + x^2 - 8x = x(4x^2 + x - 8)
A função cresce onde .
Lembrando que:
Analisando o sinal em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
  1. Para : (decresce)
  2. Para : (cresce)
  3. Para : (cresce)
  4. Para : (cresce)
Então, a função está crescendo nos intervalos , e .

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos de decrescimento.
Passo 5.1: Continuar a análise do sinal de
A função decresce onde .
Conforme analisado anteriormente, isso ocorre apenas no intervalo .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da concavidade da função.
Passo 6.1: Usar a segunda derivada 12x^2 + 2x - 8 = 0 x = -2 pm raiz4 + 38424 = -2 pm raiz38824 = -2 pm 2raiz9724 = -1 pm raiz9712
A concavidade da função é determinada pelo sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Resolvendo :
Então, os pontos de inflexão são e .
Passo 6.2: Analisar o sinal de nos intervalos determinados
  1. Para : (côncava para cima)
  2. Para : (côncava para baixo)
  3. Para : (côncava para cima)

Passo 7

Finalmente, vamos fazer um esboço do gráfico da função .
Passo 7.1: Resumo das informações obtidas
  • Extremos Relativos:
    • Máximo relativo em
    • Mínimos relativos em
  • Intervalos de Crescimento:
  • Intervalo de Decrescimento:
  • Concavidade:
    • Côncava para cima em e
    • Côncava para baixo entre e
Passo 7.2: Desenhar o gráfico
Com base nessas informações, o gráfico de terá:
  • Dois pontos de mínimo e um ponto de máximo.
  • A função aumenta na maior parte do domínio, exceto em um intervalo específico.
  • A concavidade muda em dois pontos de inflexão.
(Como não posso desenhar aqui, recomendo plotar esses pontos e comportamentos em um gráfico para visualizar a curva completa.)

Resposta

Os extremos relativos de são um máximo relativo em e dois mínimos relativos em . A função cresce nos intervalos , e , decresce em . A concavidade da função é para cima quando ou , e para baixo entre esses valores. O esboço do gráfico segue essas características de extremos, crescimento, decrescimento e concavidade.

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