Técnicas de construção de gráficos - 5,0 pontos
Dada a função
a) ache os extremos relativos de
pelo teste da derivada segunda;
b) determine os intervalos de crescimento;
c) determine os intervalos de decrescimento;
d) indique o comportamento da concavidade;
e) faça um esboço do gráfico de
.
Dada a função
b) determine os intervalos de crescimento;
c) determine os intervalos de decrescimento;
d) indique o comportamento da concavidade;
e) faça um esboço do gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de técnicas de construção de gráficos juntos! A função que vamos analisar é:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar os extremos relativos, intervalos de crescimento e decrescimento, além de analisar a concavidade da função. Vou te guiar passo a passo para que tudo fique bem claro.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os extremos relativos da função usando o teste da derivada segunda. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivada de
.
Passo 2.1: Calcular a primeira derivada
A derivada de
em relação a
é:
Passo 2.2: Encontrar os pontos críticos
Os pontos críticos ocorrem onde
.
Resolvendo:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 3
Passo 3.1: Calcular a segunda derivada
A segunda derivada é a derivada de
:
Passo 3.2: Testar os pontos críticos na segunda derivada
Vamos avaliar
em cada ponto crítico para determinar se são máximos ou mínimos.
- Para
:
Como
,
é um ponto de máximo relativo.
- Para
:
Calculando
dará um valor positivo, indicando mínimo relativo.
- Para
:
Calculando
dará um valor positivo, indicando mínimo relativo.
Passo 4
Agora que sabemos os extremos relativos, vamos determinar os intervalos de crescimento da função.
Passo 4.1: Analisar o sinal de
A função cresce onde
.
Lembrando que:
Analisando o sinal em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
- Para
: (decresce) - Para
: (cresce) - Para
: (cresce) - Para
: (cresce)
Então, a função está crescendo nos intervalos
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos de decrescimento.
Passo 5.1: Continuar a análise do sinal de
A função decresce onde
.
Conforme analisado anteriormente, isso ocorre apenas no intervalo
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da concavidade da função.
Passo 6.1: Usar a segunda derivada
A concavidade da função é determinada pelo sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Resolvendo
:
Então, os pontos de inflexão são
e
.
Passo 6.2: Analisar o sinal de
nos intervalos determinados
- Para
: (côncava para cima) - Para
: (côncava para baixo) - Para
: (côncava para cima)
Passo 7
Finalmente, vamos fazer um esboço do gráfico da função
.
Passo 7.1: Resumo das informações obtidas
-
Extremos Relativos:
- Máximo relativo em
- Mínimos relativos em
- Máximo relativo em
-
Intervalos de Crescimento:
-
-
Intervalo de Decrescimento:
-
-
Concavidade:
- Côncava para cima em
e - Côncava para baixo entre
e
- Côncava para cima em
Passo 7.2: Desenhar o gráfico
Com base nessas informações, o gráfico de
terá:
- Dois pontos de mínimo e um ponto de máximo.
- A função aumenta na maior parte do domínio, exceto em um intervalo específico.
- A concavidade muda em dois pontos de inflexão.
(Como não posso desenhar aqui, recomendo plotar esses pontos e comportamentos em um gráfico para visualizar a curva completa.)
Resposta
Os extremos relativos de
são um máximo relativo em
e dois mínimos relativos em
. A função cresce nos intervalos
,
e
, decresce em
. A concavidade da função é para cima quando
ou
, e para baixo entre esses valores. O esboço do gráfico segue essas características de extremos, crescimento, decrescimento e concavidade.