Suponha que uma moeda honesta é lançada de forma independente repetidas vezes. Qual a probabilidade de se obter cara de forma sucessiva infinitamente? (Dica: Defina An como o evento de se obter cara nos primeiros n lançamentos e aplique o teorema de Borel-Cantelli).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Suponha que uma moeda honesta é lançada de forma independente repetidas vezes. Qual a probabilidade de se obter cara de forma sucessiva infinitamente?”
Isso está dentro de Probabilidade, mais exatamente de eventos em processos infinitos, e vamos usar o Teorema de Borel-Cantelli.
O que a gente vai precisar:
  1. Definir um evento que capture “cara nos primeiros lançamentos”.
  2. Calcular .
  3. Somar essas probabilidades e aplicar Borel-Cantelli para ver se a chance de ter uma sequência infinita de caras cai a zero ou não.

Passo 2

Vamos definir:
An = cara nos lançamentos 1,2,dots,n ç
Como a moeda é honesta e os lançamentos são independentes, cada cara tem probabilidade Pr(An) = 12 times 12 times cdots times 12 = l(tfrac12r)^n . Então, para ter caras seguidas nos primeiros lançamentos:

Passo 3

O Teorema de Borel-Cantelli (primeiro) diz: se sumn=1^infty Pr(An) = sumn=1^infty l(tfrac12r)^n = 1 converge (é finita), então a probabilidade de que “infinitamente muitos ocorram” é zero.
Vamos somar:
Como essa soma é finita, já podemos usar o Borel-Cantelli.

Passo 4

O evento “obter cara de forma sucessiva infinitamente” equivale a acontecer limsupntoinfty An, para infinitos valores de . Em notação de probabilidade isso é
que o Borel-Cantelli garante ter probabilidade zero.

Resposta

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