Suponha que uma moeda honesta é lançada de forma independente repetidas vezes. Qual a probabilidade de se obter cara de forma sucessiva infinitamente? (Dica: Defina
como o evento de se obter cara nos primeiros n lançamentos e aplique o teorema de Borel-Cantelli).
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Suponha que uma moeda honesta é lançada de forma independente repetidas vezes. Qual a probabilidade de se obter cara de forma sucessiva infinitamente?”
Isso está dentro de Probabilidade, mais exatamente de eventos em processos infinitos, e vamos usar o Teorema de Borel-Cantelli.
O que a gente vai precisar:
Isso está dentro de Probabilidade, mais exatamente de eventos em processos infinitos, e vamos usar o Teorema de Borel-Cantelli.
O que a gente vai precisar:
- Definir um evento
que capture “cara nos primeiros lançamentos”. - Calcular
. - Somar essas probabilidades e aplicar Borel-Cantelli para ver se a chance de ter uma sequência infinita de caras cai a zero ou não.
Passo 2
Vamos definir:
Como a moeda é honesta e os lançamentos são independentes, cada cara tem probabilidade
. Então, para ter
caras seguidas nos primeiros
lançamentos:
Passo 3
O Teorema de Borel-Cantelli (primeiro) diz: se
converge (é finita), então a probabilidade de que “infinitamente muitos
ocorram” é zero.
Vamos somar:
Vamos somar:
Como essa soma é finita, já podemos usar o Borel-Cantelli.
Passo 4
O evento “obter cara de forma sucessiva infinitamente” equivale a acontecer
para infinitos valores de
. Em notação de probabilidade isso é
que o Borel-Cantelli garante ter probabilidade zero.